1、第2讲分类讨论思想、转化与化归思想一、填空题1若数列an的前n项和Sn3n1，则它的通项公式an_解析当n2时，anSnSn13n1(3n11)23n1；当n1时，a1S12，也满足式子an23n1，数列an的通项公式为an23n1.答案23n12过双曲线1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则的值为_解析当直线PQ与x轴重合时，|a.答案a23等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为_解析当公比q1时，a1a2a37，S33a121，符合要求当q1时，a1q27，21，解之得，q或q1(舍去)综上可知，q1或.答案1或4方程sin2xcos xk0有解
2、，则k的取值范围是_解析求ksin2xcos x的值域kcos2xcos x1.当cos x时，kmin，当cos x1时，kmax1，k1.答案5钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC等于_解析SABCABBCsin B1sin B，sin B，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，所以AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，所以AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故AC.答案6在ABC中，AB3，AC4，BC5.点D是边BC上的动点，xy，当xy取最
3、大值时，|的值为_解析AB3，AC4，BC5，ABC为直角三角形如图建立平面直角坐标系，A(0，0)，B(3，0)，C(0，4)，设D(a，b)，由xy，得xy.又D在直线lBC：1上，1，则2.，即xy，当且仅当a，b2时xy取到最大值，此时|.答案7设F1，F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点已知P，F1，F2是一个直角三形的三个顶点，且PF1PF2，则的值为_解析若PF2F190，则PFPFF1F，PF1PF26，F1F22，解得PF1，PF2，.若F2PF190，则F1FPFPFPF(6PF1)2，解得PF14，PF22，2.综上所述，2或.答案2或8已知函数f(x)ax33x1对于
4、x1，1总有f(x)0成立，则a_解析若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0即x(0，1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为g(x)maxg4，从而a4；当x0即x1，0)时，f(x)ax33x10可化为a，g(x)0，g(x)在区间1，0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而a4，综上a4.答案4二、解答题9数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0.(1)求数列的通项公式；(2)设Sn|a1|a2|an|，求Sn.解(1)an22an1an0，所以an2an1an1an，所以an1
5、an为常数列，所以an是以a1为首项的等差数列，设ana1(n1)d，a4a13d，所以d2，所以an102n.(2)因为an102n，令an0，得n5.当n5时，an0；当n5时，an0；当n5时，an0.所以当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)T5(TnT5)2T5Tnn29n40，Tna1a2an，当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2anTn9nn2.所以Sn10已知函数g(x)(aR)，f(x)ln(x1)g(x)(1)若函数g(x)过点(1，1)，求函数f(x)的图象在x0处的切线方程；(2)判断函数f(x)的单调性解(1)因为函数g(x)过点(1，1
6、)，所以1，解得a2，所以f(x)ln(x1).由f(x)，则f(0)3，所以所求的切线的斜率为3.又f(0)0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y3x.(2)因为f(x)ln(x1)(x1)，所以f(x).当a0时，因为x1，所以f(x)0，故f(x)在(1，)上单调递增；当a0时，由得1x1a，故f(x)在(1，1a)上单调递减；由得x1a，故f(x)在(1a，)上单调递增综上，当a0时，函数f(x)在(1，)上单调递增；当a0时，函数f(x)在(1，1a)上单调递减，在(1a，)上单调递增11已知椭圆1(ab0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构
7、成正三角形(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由解(1)由题意，知抛物线的焦点为F(，0)，所以c.因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，所以b1.可求得a2，故椭圆的方程为y21.(2)假设存在满足条件的点E，当直线l的斜率存在时设其斜率为k，则l的方程为yk(x1)由得(4k21)x28k2x4k240，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.则(mx1，y1)，(mx2，y2)，所以(mx1)(mx2)y1y2m2m(x1x2)x1x2y1y2m2m(x1x2)x1x2k2(x11)(x21)m2k2(4m28m1).要使为定值，令2m0，即m，此时.当直线l的斜率不存在时，不妨取P，Q，由E，可得，所以.综上，存在点E，使为定值.