1、高考资源网（） 您身边的高考专家万有引力定律是怎样发现的-例题解析【例1】 两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TATB=18.求：(1)两颗人造卫星的轨道半径之比RARB;(2)两颗人造卫星的运动速率之比vAvB.思路:设人造卫星的周期为T、轨道半径为R、地球的质量为M、卫星的质量为m、万有引力常量为G.由于人造卫星所需的向心力来源于地球对卫星的万有引力，我们可以写出下式：Gm2R将=代入上式可得：G上式可以化简为：所以T=2这就是人造地球卫星运行周期的计算公式.由此式可看出：运行周期与卫星的质量m无关.轨道半径越小周期就越短，运动周期T与成正比.解析:(1)对于人造卫星A可以写出
2、下式：G=m()2RA可导出：用同样的推导方法,对于人造卫星B也可写出下式：将两式相除：=化简后可得：还可变化为：(2)根据v=,对于A、B两颗卫星可以写出下列二式：vA=vB=将两式相除：经化简后可得：根据前面推导出的式，并将已知量代入就可得出两颗人造卫星轨道半径之比：根据前面推导出的式，并将已知量代入就可得出两颗人造卫星运动速率之比：.点评:启发性问题:(1)你能推导出人造地球卫星运行周期的公式吗？(2)你知道两颗人造卫星的轨道半径与运行周期之间的比例关系吗？(3)你知道两颗人造卫星的运动速率与运行周期和轨道半径之间的比例关系吗？【例3】 如图所示,质量分别为m1和m2的两颗星围绕着一个共
3、同的圆心O在两个半径不同的同心圆轨道上做匀速圆周运动，并且它们之间的距离L总是恒定不变的.求这两颗星运行的轨道半径r1和r2.(圆心O处无物体)思路:1.由于圆心O处无物体存在，所以这两颗星做圆周运动所需的向心力只能由它们之间的万有引力互相提供m2给m1的引力F1使m1做圆周运动；m1给m2的引力F2使m2做圆周运动.而且根据牛顿第三定律可知：F1=F2，且方向相反，分别作用在m1、m2两颗星上.2.由于这两颗星之间的距离L总是恒定不变的，所以这两颗星的运行周期就必须相等，即T1=T2.3.由于F1和F2承担着向心力的任务，所以它们都必须永远指向圆心O，又因两颗星的距离总是L，所以两颗星的连线
4、必须始终通过圆心O，于是：r1+r2=L.(这在附图中已经显示出来了)4.在解题过程中还需运用下列的导出关系式：F=m2r=m()2r=根据前面的导出关系式可以写出下列二式：F1=,F2=根据1分析出的F1=F2，则可写出下式根据2分析出的T1=T2可以将上式中的T12与T22消去(并将等式两边的42也消去)，于是写出了下式：m1r1=m2r2再把3分析出的r1、r2与L的关系式写在下面：r1+r2=L由式导出r2=Lr1,代入式:m1r1=m2(Lr1)m1r1=m2Lm2r1(m1+m2)r1=m2L所以r1=L由式导出r1=Lr2代入式:m1(Lr2)=m2r2,m1Lm1r2=m2r2
5、(m1+m2)r2=m1L所以r2=L.点评:解题后的思考1.当m1m2时(注意:必须是远远地大于),则:根据以上两式可以得出r10 r2L这种情况说明：质量小的m2星围绕着质量很大的m1星做圆周运动，而且m1星近似地处于圆心处.由此可知：地球绕着太阳转，而太阳并不绕着地球转的原因.(注意：这只是一种简化的、理想化的论证.由于太阳系内还有其他许多行星存在，它们与太阳之间都存在着相互作用，而且太阳也不是绝对不动的，所以实际比上述的讨论要复杂得多.对此特别有兴趣的同学，今后在大学中学习天体力学和天文学等知识时，就会有更深入的了解)2.当m1=m2时,根据以上两式推论则：r1=r2=.这种情况如图所示：两颗星围绕着一个无物存在的共同圆心，在同一圆轨道上运动，在天文学上称为“双星运动”.- 4 - 版权所有高考资源网
