1、第2讲圆锥曲线的基本问题一、填空题1(2015南通泰州调研)双曲线1(m0)的离心率为，则m等于_解析由题意得c，所以，解得m9.答案92(2015安徽卷改编)双曲线x21的渐近线方程为_解析焦点在y轴上的渐近线方程为yx2x.答案y2x3已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为_解析由于抛物线y24x的焦点为F(1，0)，即c1，又e，可得a，结合条件有a2b2c21，可得b2，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2y21.答案5x2y214(2015湖南卷)设F是双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点，若C上存在点P，使线
2、段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_解析不妨设F(c，0)，则由条件知P(c，2b)，代入1得5，e.答案5(2015江苏五市模拟)已知椭圆1(0m9)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆与A，B两点，若AF2BF2的最大值为10，则m的值为_解析已知椭圆1(0m9)中，a29，b2m.AF2BF24aAB10，AB2，ABmin2，解得m3.答案36(2013新课标全国卷改编)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为_解析直线AB的斜率k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以得.又
3、x1x22，y1y22，所以k，所以，又a2b2c29，由得a218，b29.故椭圆E的方程为1.答案17(2013天津卷改编)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p_解析因为双曲线的离心率e2，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为yxx，与抛物线的准线x相交于A，B，所以AOB的面积为p，又p0，所以p2.答案28(2015青岛模拟)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为_解析双曲线1的渐近线方程为yx，圆C的
4、标准方程为(x3)2y24，圆心为C(3，0)又渐近线方程与圆C相切，即直线bxay0与圆C相切，2，5b24a2.又1的右焦点F2(，0)为圆心C(3，0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.答案1二、解答题9已知曲线C上的动点P(x，y)满足到定点A(1，0)的距离与到定点B(1，0)的距离之比为.(1)求曲线C的方程；(2)过点M(1，2)的直线l与曲线C交于两点M、N，若MN4，求直线l的方程解(1)由题意得PAPB，故化简得：x2y26x10(或(x3)2y28)即为所求(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1.将x1代入方程x2y26x10得y2，所以M
5、N4，满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxk2，由圆心到直线的距离d2，解得k0，此时直线l的方程为y2.综上所述，满足题意的直线l的方程为x1或y2.10(2015安徽卷)设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足BM2MA，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程解(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而，进而得ab，c2b，故e.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为1，点N的
6、坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNSkAB1，从而有解得b3.所以a3，故椭圆E的方程为1.11(2014江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值解设椭圆的焦距为2c，则F1(c，0)，F2(c，0)(1)因为B(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a.因为点C在椭圆上，所以1.解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)因为B(0，b)，F2(c，0)在直线AB上，所以直线AB的方程为1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为，直线AB的斜率为，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2.因此e.