1、第3讲平面向量一、填空题1(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则得解得.答案2(2015广州模拟)已知两个非零向量a，b的夹角为60，且|a|b|3，cta(1t)b，若bc，则t_解析因为bc，所以bc0，又cta(1t)b，所以bctab(1t)b20.因为a，b的夹角为60，且|a|b|3，所以ab|a|b|cos 6033，b29.所以t9(1t)0，解得t2.答案23(2015山东卷改编)已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60 ，则_解析如
2、图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa3a2，BDa.|cos 30a2a2.答案a24(2015太原模拟)已知a，b均为单位向量，(2ab)(a2b)，则向量a，b的夹角为_解析因为a，b均为单位向量，所以(2ab)(a2b)223ab，解得ab，所以cosa，b，又a，b0，所以a，b.答案5(2015四川卷改编)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则_解析，(43)(43)(16292)(1662942)9.答案96(2015全国卷改编)设D为ABC所在平面内一点，3，xy，则xy_解析3，3(
3、)，即43，故xy1.答案17(2014天津卷)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，则的值为_解析如图由题意知，由1，得(1)221，|cos 120|2|21，2222221，解之得2.答案28已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的_(填重心、垂心、内心或外心)解析由条件，得，从而(|)0，得，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心答案垂心二、解答题9(2013江苏卷)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0，1)
4、，若abc，求，的值(1)证明由|ab|，即(cos cos )2(sin sin )22，整理得cos cos sin sin 0，即ab0，因此ab.(2)解由已知条件cos cos cos()，由0，得0，又0，故.则sin sin ()1，即sin ，故或.当时，(舍去)，当时，.所以，的值分别为，.10已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab2|ab|的最小值是，求的值解(1)abcos cos sin sin cos 2x，|ab|2，因为x，所以cos x0，所以|ab|2cos x.(2)由(1)，可得f(x)ab2|ab|cos 2x4cos x，即
5、f(x)2(cos x)2122.因为x，所以0cos x1.当0时，当且仅当cos x0时，f(x)取得最小值1，这与已知矛盾；当01时，当且仅当cos x时，f(x)取得最小值122，由已知得122，解得；当1时，当且仅当cos x1时，f(x)取得最小值14，由已知得14，解得，这与1相矛盾；综上所述.11(2015苏、锡、常、镇调研)如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP(0)，C点坐标为(2，0)，平行四边形OAQP的面积为S.(1)求S的最大值；(2)若CBOP，求sin的值解(1)由已知，得A(1，0)，B(0，1)，P(cos ，sin )，因为四边形OAQP是平行四边形，所以(1，0)(cos ，sin )(1cos ，sin )所以1cos .又平行四边形OAQP的面积为S|sin sin ，所以S1cos sin sin1.又0，所以当时，S的最大值为1.(2)由题意，知(2，1)，(cos ，sin )，因为CBOP，所以cos 2sin .又0，cos2sin21，解得sin ，cos ，所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2.所以sinsin 2coscos 2sin
