1、1南阳一中 2016 春期高二第一次月考理数试题第卷 一、选择题（12 小题，每题 5 分）1设曲线11xyx在点(3 2)，处的切线与直线10axy 垂直，则a （）A2B 12C12D 22设()f x 是可导函数，且000()(2)lim3xf xxf xxx ，则0()fx（）A 12B 1C0 D 23用数学归纳法证明412135()nnnN 能被 8 整除时，当1nk 时，对于4(1)12(1)135kk可变形为（）41412156 325(35)kkk441223 35 5kk 412135kk412125(35)kk4已知直线 yxm 是曲线23lnyxx的一条切线，则m 的值
2、为（）A0 B2 C1 D35定积分220 sin 2x dxxdxex sin11-的值等于（）A 142B 142C 124D 12 6函数 f(x)的定义域为 R，f(-1)=2,对任意 xR，f(x)2,则()24f xx的解集为A(-1，1)B(-1，+)C(-，-l)D(-,+)7设点 P 是曲323 xeyx线上的任意一点，P 点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A),32B),32()2,0 C),65)2,0 D)65,228设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x 0，且(3)0g，则不等式 f(x)g(x)0 的解集是（）A(3，0)(3，
3、+)B(3，0)(0，3)C(，3)(3，+)D(，3)(0，3)9设ABC 的三边长分别为 a、b、c，ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则，类比这个结论可知：四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球半径为 r，四面体 SABC 的体积为 V，则 r=（）ABCD10函数()f x 是定义在(0,)上的单调函数，且对定义域内的任意 x，均有3()ln)2ff xxx，则()f e （）（A）31e （B）32e （C）31ee （D）32ee 11已知函数 2ln xxbf xx（Rb）若存在1,22x，使得)(xf)(xfx，则实数b 的取值范围是（）A
4、,2B3,2C9,4D,312函数32()393,f xxxx若函数()()2,5g xf xmx 在上有 3 个零点，则 m 的取值范围为（）A（-24,8）B（-24,1 C1,8 D1,8）第卷 二、填空题（4 小题，每小题 5 分）13由直线，曲线及 x 轴所围图形的面积为14函数 xxxfln的单调增区间是_315若函数24()1xf xx在区间(21)m m，上是单调递增函数，则实数 m 的取值范围是16将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第 n 行（3n）从左向右的第 3 个数为三、解答题：17（10 分）（1）求证：(1)2233()ababab;（2）已知cb
5、a,均为实数，且62,32,22222xzczybyxa，求证：cba,中至少有一个大于 0.18（12 分）已知 111123f nn 经计算得 5742,8,163,3222ffff（）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；（）用数学归纳法证明你的猜想19（12 分）某地区的电价为 0.8 元/(kWh)，年用电量为 1 亿 kWh，今年电力部门计划下调电价以提高用电量、增加收益。下调电价后新增的用电量与实际电价和原电价的差的平方成正比，比例系数为 50。该地区电力的成本是 0.5 元/(kWh)。（1）写出电力部门收益 y 与实际电价 x 间的函数关系时；（2）随着 x 的变化，y 的变化
6、有和规律？（3）电力部门将电价定为多少，能获得最大收益？13 24 5 610 9 8 711 12 13 14 15420（12 分）设0t，点(0)P t，是函数3()f xxax与2()g xbxc的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线（1）用 t 表示 abc，；（2）若函数()()yf xg x在(13)，上单调递减，求t 的取值范围 21已知函数 f（x）=ln（x+1）+ax2x，aR（）当 a=时，求函数 y=f（x）的极值；（）若对任意实数 b（1，2），当 x（1，b时，函数 f（x）的最大值为 f（b），求 a 的取值范围22（12 分）已知函数()ln
7、1f xaxx()aR（1）求()f x 的单调区间；（2）若()0f x 在(0,)上恒成立，求所有实数a 的值；（3）证明：ln 2ln3ln 4ln(1)34514nn nn(,1)nN n5理数答案一、选择题DBABA BBDCBCD二、填空题13、2ln2.14，115、0,116、32)1(,22)1(nnnnnn为奇数时当为偶数时当三、解答题17.证明：（1）222abab,232 3aa,232 3bb;将此三式相加得222(3)22 32 3ababab,2233()ababab.证明：（2）（反证法）假设cba,都不大于 0，即0,0,0cba，则0cba，因为62,32,
8、22222xzczybyxa03)1()1()1()62()32()22(222222zyxxzzyyxcba即0cba，与0cba矛盾，故假设错误，原命题成立.18、试题分析：（）由归纳推理进行猜想如下：232253222,2222ff，454275223,2222ff，由此得到一般性结论：1322nnf；（）利用数学归纳法结合放缩法进行证明.试题解析：（）由题意知，232253222,2222ff454275223,2222ff.由此得到一般性结论：1322nnf（或者猜想 222,2nnfnnN也行）；（）证明：（1）当1n 时，21112541 3212341222f，所以结论成立（2
9、）假设1,nk kkN时，结论成立，即 1322kkf那么，1nk 时，211121111112123221222kkkkkf 1123111221222kkkk6122223111321 32222222kkkkkkkk 所以当1nk 时，结论也成立 由（1）（2）可知，上述结论对1,nnN都成立，所以猜想成立19.（1）y=8.05.0),5.0()8.0 x5012 xx （(2 当 0.5x0.64 时函数递增；当 0.64x0.76 时函数递减；当 0.76x0.8 时函数递增；x=0.64,x=0.76 为函数的极值点；（3）由（2）知电力部门将电价定位 0.64 元/(kW.h)
10、时，可以获得最大受益，最大受益为0.3192 亿元。20.解：（1）因为函数()f x，()g x 的图象都过点(0)t，所以()0f t，即30tat因为0t，所以2at()0g t，即20btc，所以 cab又因为()()f xg x，在点(0)t，处有相同的切线，所以()()f tg t，而2()3fxxa，()2g xbx，所以232tabt将2at 代入上式得bt 因此3cabt 故2at，bt，3ct（2）3223()()yf xg xxt xtxt，2232(3)()yxtxtxt xt 当(3)()0yxt xt 时，函数()()yf xg x单调递减由0y，若0t，则3txt
11、；若0t，则3ttx 由题意，函数()()yf xg x在(13)，上单调递减，则(13)3tt，或(13)3tt，所以9t或3t 又当 93t 时，函数()()yf xg x在(13)，上不是单调递减的所以t 的取值范围为 93，21.解：（）当 a=时，7则，化简得（x1），列表如下：x（1，0）0（0，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）增极大值减极小值增函数 f（x）在（1，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且 f（0）=0，f（1）=ln2，函数 y=f（x）在 x=1 处取到极小值为，在 x=0 处取到极大值为 0；（）由题意，（1）当 a0 时，函数 f（x
12、）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，此时，不存在实数 b（1，2），使得当 x（1，b）时，函数 f（x）的最大值为 f（b）；（2）当 a0 时，令 f（x）=0 有 x=0 或，当，即 a 时，函数 f（x）在（）和（0，+）上单调递增，在（）上单调递减，要存在实数 b（1，2），使得当 x（1，b时，函数 f（x）的最大值为 f（b），则 f（）f（1），代入化简得，令（a），恒成立，故恒有，a时，恒成立；当，即 0a 时，函数 f（x）在（1，0）和（）上单调递增，在（0，）上单调递减，此时由题，只需，解得 a1ln2，又 1ln2，8此时实数 a 的取值范围是 1ln2
13、a；当 a=时，函数 f（x）在（1，+）上单调递增，显然符合题意综上，实数 a 的取值范围是1ln2，+）考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值22、【解析】（1）()1(x0)aaxfxxx，当0a 时，()0fx，()f x 减区间为(0,)当0a 时，由()0fx得0 xa，由()0fx得 xa()f x 递增区间为0,a，递减区间为,a （2）由（1）知：当0a 时，()f x 在(0,)上为减区间，而(1)0f()0f x 在区间(0,)x 上不可能恒成立；当0a 时，()f x 在0,a 上递增，在,a 上递减，max()()ln1f xf aaaa，令()l
14、n1g aaaa，依题意有()0g a，而()lng aa，且0a ()g a 在0,1 上递减，在1,上递增，min()(1)0g ag，故1a（3）由（2）知，当1a 时，()0f x 在(0,)上恒成立，即ln1xx 在(0,)上恒成立，当且仅当1x 时等号成立令2xk(,1)kN k，则有22ln1kk，即2ln(1)(1)kkk，整理得 ln112kkk当2,3,4,kn时，分别有 ln 2132，ln3242，ln 4352，ln112nnn，叠加得 ln 2ln3ln 4ln1 23(1)(1)345124nnn nn，9即 ln 2ln3ln 4ln(1)34514nn nn得证