1、第4讲导数与函数图象的切线及函数零点问题一、填空题1曲线y在点(1，1)处的切线方程为_解析易知点(1，1)在曲线上，且y，所以切线斜率ky|x12.由点斜式得切线方程为y12(x1)，即2xy10.答案2xy102若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab的值为_解析f(x)asin x，f(0)0.又g(x)2xb，g(0)b，b0.又g(0)1m，f(0)am1，ab1.答案13(2015邯郸模拟)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，则2ab的值为_解析y3x2a.y|x13ak，又3k1，k2，a1.又31ab，b3，2ab23
2、1.答案14(2015武汉模拟)曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为_解析依题意得y1ln x，y|xe1ln e2，所以21，a2.答案25(2015扬州模拟)已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_解析函数f(x)ex2xa有零点，即方程ex2xa0有实根，即函数g(x)2xex与ya有交点，而g(x)2ex，易知函数g(x)2xex在(，ln 2)上递增，在(ln 2，)上递减，因而g(x)2xex的值域为(，2ln 22，所以要使函数g(x)2xex与ya有交点，只需a2ln 22即可答案(，2ln 226已知f(x)x3fx2x，则f(
3、x)的图象在点处的切线斜率是_解析f(x)3x22fx1，令x，可得f32f1，解得f1，所以f(x)的图象在点处的切线斜率是1.答案17(2015南京、盐城模拟)关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0.答案(4，0)8(201
4、5安徽卷)设x3axb0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号)a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.解析令f(x)x3axb，f(x)3x2a，当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，必有一个实根，正确；当a0时，由于选项当中a3，只考虑a3这一种情况，f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要使f(x)0仅有一个实根，则需f(x)极大0，b2，正确，所有正确条件为.答案二、解答题9已知x3是函数f(x)aln(1x)x210x的一个极值点(1)求a；(2)求
5、函数f(x)的单调区间；(3)若直线yb与函数yf(x)的图象有3个交点，求b的取值范围解f(x)的定义域为(1，)(1)f(x)2x10，又f(3)6100，a16.经检验此时x3为f(x)的极值点，故a16.(2)由(1)知f(x).当1x3时，f(x)0；当1x3时，f(x)162101616ln 29f(1)，f(e21)321121f(3)，所以根据函数f(x)的大致图象可判断，在f(x)的三个单调区间(1，1)，(1，3)，(3，)内，直线yb与yf(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)bf(1)因此b的取值范围为(32ln 221，16ln 29)10(2015南师附中模拟)
6、已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.因为x，所以当g(x)0时，x1.当x1时，g(x)0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，所以g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有两个零点的
7、条件是解得1m2，所以实数m的取值范围是.11(2015江苏高考命题原创卷)已知函数f(x)x2aln x1，函数F(x).(1)如果函数f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，求实数a的取值范围；(2)当a2时，你认为函数y的图象与yF(x)的图象有多少个公共点？请证明你的结论解(1)f(x)x2aln x1的定义域为(0，)，函数f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，f(x)2x0在(0，)上恒成立a2x2在(0，)上恒成立，y2x20在(0，)上恒成立，a0.所求的a的取值范围为(，0(2)当a2时，函数y的图象与yF(x)的图象没有公共点当a2时，y，它的定义域为x|x0且x1，F(x)的定义域为0，)当x0且x1时，由F(x)得x22ln xx220.设h(x)x22ln xx22，则h(x)2x1.当0x1时，h(x)0，此时，h(x)单调递减；当x1时，h(x)0，此时，h(x)单调递增当x0且x1时，h(x)h(1)0，即h(x)0无实数根当a2，x0且x1时，F(x)无实数根当a2时，函数y的图象与yF(x)的图象没有公共点