1、四川省泸县第四中学2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数满足，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用复数除法的运算法则可以直接求出复数的表达式.【详解】，故本题选D.【点睛
2、】本题考查了复数的除法运算法则，考查了数学运算能力.2.已知函数的定义域为A，则 （ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求集合，再由补集运算即可得.【详解】已知函数的定义域为，所以，得，即，故.故选D【点睛】本题考查了集合的补集运算，不等式的解法，属于基础题.3.函数的图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，得的图象关于原点对称，当时，得，对选项分析判断即可.【详解】由，得的图象关于原点对称，排除C,D.当时，得，排除B.故选A【点睛】本题考查了函数图像的识别，利用了函数的奇偶性等性质，属于基础题.4.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线
3、的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】渐近线与直线垂直，得、关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出、的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直双曲线的渐近线方程为，得，此时，离心率故选C【点睛】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题5.已知函数在处取得极值10，则（ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数在处取得极值10，得，由此求得的值，再验证是否符合题意即可.【详解】函数在处取得极值10，所以，且，解得或，当时，根据极值的定义知道，此时
4、函数无极值；当时，令得或，符合题意；所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题，注意其对应的条件为函数值以及函数在对应点处的导数的值，构造出方程组，求得结果，属于简单题目.6.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A. 乙B. 甲C. 丁D. 丙【答案】A【解析】【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两
5、人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，
6、其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.7.函数在上的最小值为（ ）A. -2B. 0C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得函数的导数，得到函数在区间上的单调性，即可求解函数的最小值，得到答案【详解】由题意，函数，则，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数在区间上的最小值为，故选D【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性，进而求解函数的最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题8.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A. 为函数的单调递增区间
7、B. 为函数的单调递减区间C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值【答案】D【解析】【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案【详解】由题意，函数的导函数的图象可知：当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；所以函数单调递减区间为，递增区间为，且函数在和取得极小值，在取得极大值，故选D【点睛】本题主要考查了导函数与原函数的关系，以及函数的单调性与极值的判定，其中解答中根据导函数的图象得出原函数的单调性是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题9.已知函数，满足，则实数的取值范
8、围是（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (1,3)D. (2,4)【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的定义域，把代入函数中化简，解出不等式的解，即可得到答案【详解】函数的定义域为，由可得：，两边平方：则（1）或（2）解（1）得：无解 ，解（2）得：，所以实数的取值范围是：；故答案选A【点睛】本题主要考查对数不等式的解，解题时注意定义域的求解，有一定综合性，属于中档题10.已知，均为正数，若，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用柯西不等式可得最小值【详解】因为 当且仅当时等号成立，故所求最小值为，故选A【点睛】一般地，如果，是实数，那么，进一步地，（1）
9、如果，那么有最小值，当且仅当时取最小值；（1）如果，那么有最大值，当且仅当时取最大值11.过双曲线的右焦点与轴垂直的直线与渐近线交于A,B两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意，得代入，得交点，则.整理，得，故选D.考点：1、双曲线渐近线；2、双曲线离心率.12.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令则当或时，单调递增，当时，单调递减当时，取得极大值，且；当时，取得极小值，且函数有三个不同的零点，直线与函数的图象有三个交点，即实数的取值范围为选C点睛：研究方程根（或函数
10、零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出大致的函数图象，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为_【答案】 【解析】【分析】首先根据奇函数的定义，得到，即，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果.【详解】因为函数是奇函数，所以，从而得到，即，所以，所以，所以切点坐标是，因，
11、所以，所以曲线在点处的切线方程为，故答案是.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目.14.函数的单调递增区间为_.【答案】【解析】函数有意义，则： ，且： ，由 结合函数定义域可得函数的单调递增区间为，故答案为.15.设，则函数的最小值是_【答案】6【解析】【分析】根据题意，令，则函数（），进行求导可得出函数的单调性，进而即可求出最小值.【详解】令，则函数（），因为，所以，即函数为增函数，所以在时取到最小值，代入可得最小值为6.故答案为：6.【点睛】本题考查了换元法以及用导数求函数单调性，考查了转化思想，属于中档题.16.
12、在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB2，A1A4，M为A1A的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】连接BC1，则BC1AD1，可得MBC1为异面直线AD1与BM所成角，由已知求解三角形MBC1 的三边长，再由余弦定理求异面直线AD1与BM所成角的余弦值详解】如图，连接BC1，则BC1AD1，MBC1为异面直线AD1与BM所成角，在正四棱柱AC1中，由AB2，A1A4，M为A1A的中点，得，在MBC1中，由余弦定理得：cosMBC1故答案为【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查数学转化思想方法，是基础题三、解答题
13、：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：喜欢统计课程不喜欢统计课程合计男生201030女生102030合计303060（1）判断是否有99.5的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（2）用分层抽样方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率下面的临界值表供参考：0.050.0250.01
14、00.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）计算K2的值，与临界值比较，即可得到结论；（2）确定样本中有4个男生，2个女生，利用列举法确定基本事件，即可求得结论详解：（1）由公式 ，所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关（2）设所抽样本中有m个男生，则人，所以样本中有4个男生，2个女生， 从中选出3人的基本事件数有20种 恰有两名男生一名女生的事件数有12种 所以.点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等
15、可能的(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.18.已知函数在处有极小值（1）求、值；（2）求出函数的单调区间【答案】单调增区间为和，函数的单调减区间为【解析】(1)由已知，可得f(1)13a2b1，又f(x)3x26ax2b，f(1)36a2b0.由解得(2)由(1)得函数的解析式为f(x)x3x2x.由此得f(x)3x22x1.根据二次函数的性质，当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.因此，在区间和(1，)上，函数f(x)为增函数；在区间上，函
16、数f(x)为减函数19.如图所示，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点（1）证明：平面；（2）若M是AB的中点，证明：平面平面；（3）求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用得出平面.（2）通过证明平面，可证得平面平面.（3）利用等体积转化求出即可.【详解】（1）证明：因为在正方体中，平面，平面，平面 （2）证明：在正方体中，,是中点，.平面，平面，则.平面，平面，且，平面.平面，平面平面 （3）因为平面，所以点，点到平面的距离相等.故 【点睛】本题考查了证明线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，注意判定定理中的条件，利用等体积转
17、化求三棱锥的体积是常用的方法，属于基础题.20.已知函数.()讨论函数的单调性；()设，若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】() (1)若，在上单调递增；(2)若，在上单调递增；在上单调递减； ().【解析】【分析】（I）先求得函数的导数和定义域，然后对分成两类，讨论函数的单调性.（II）将原不等式恒成立转化为“对任意的恒成立”，根据（I）的结论，结合函数的单调性，以及恒成立，求得的取值范围.【详解】() ,(1)若，则，函数在上单调递增；(2)若，由得；由得 函数在上单调递增；在上单调递减. ()由题设，对任意的恒成立即对任意的恒成立即对任意的恒成立 ,由()可知，若，则，不满足恒成立
18、,若，由()可知，函数在上单调递增；在上单调递减. ，又恒成立，即, 设，则函数在上单调递增，且，解得的取值范围为 .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，综合性很强，属于难题.21.已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）（1）试求抛物线的方程；（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形求证：直线恒过定点；过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线【答案】（1）；（2）证明见解析；，是以为直径的圆（除去点.【解析】【分析】（1）设A（xA，yA），B（x
19、B，yB），由|OA|OB|，可得2pxA2pxB，化简可得：点A，B关于x轴对称因此ABx轴，且AOx30可得yA2p，再利用等边三角形的面积计算公式即可得出；（2）由题意可设直线PQ的方程为：xmy+a，P（x1，y1），Q（x2，y2）与抛物线方程联立化为：y2mya0，利用PMQ90，可得0利用根与系数的关系可得m，或（m），进而得出结论；设N（x，y），根据MNNH，可得0，即可得出【详解】（1）解依题意，设，则由，得，即，因为，所以，故，则，关于轴对称，所以轴，且，所以.因为，所以，所以，故，故抛物线的方程为.（2）证明 由题意可设直线的方程为，由，消去，得，故，.因为，所以.即.
20、整理得，即，得，所以或.当，即时，直线的方程为，过定点，不合题意舍去.故直线恒过定点.解 设，则，即，得，即，即轨迹是以为直径的圆（除去点）.【点睛】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、等边三角形的性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，线的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2
21、）己知直线与曲线交于、两点，且，求实数的值.【答案】（1）的普通方程；的直角坐标方程是；（2）【解析】【分析】（1）把直线l的标准参数方程中的t消掉即可得到直线的普通方程，由曲线C的极坐标方程为2sin（），展开得（sin+cos），利用即可得出曲线的直角坐标方程；（2）先求得圆心到直线的距离为，再用垂径定理即可求解【详解】（1）由直线的参数方程为，所以普通方程为由曲线的极坐标方程是，所以，所以曲线的直角坐标方程是（2）设的中点为，圆心到直线的距离为，则，圆，则，,由点到直线距离公式，解得，所以实数的值为.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.选修45：不等式选讲已知关于的不等式的解集为(1)求的最大值；(2)已知，且，求的最小值及此时，的值【答案】(1)；(2)，时，最小值为 【解析】试题分析: (1)由绝对值三角不等式可得 最小值为.再解不等式即得的最大值；（2）由柯西不等式得 ，即得的最小值，再根据等于号成立条件解得，的值试题解析: (1)因为 .当或时取等号，令所以或解得或的最大值为(2)由柯西不等式， ,，等号当且仅当，且时成立即当且仅当，时，的最小值为
