1、第2讲直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(2015长沙模拟)若抛物线y22x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A. B. C. D.解析由题意知抛物线的焦点为F，AB垂直于x轴，设与抛物线的一个交点A(x0，)，代入抛物线方程可解得x01，即AB直线方程为x1，所以焦点F到直线AB的距离为.答案A2.已知A，B，P是双曲线1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，B(x1，y1)，因为A，P在双曲线上，
2、所以两式相减，得kPAkPB，所以e2，故e.答案D3.(2015四川卷)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B.2 C.6 D.4解析右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入渐近线方程得y212，y2，A(2，2)，B(2，2)，|AB|4.答案D4.(2015唐山模拟)已知椭圆C的方程为1(m0)，如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A.2 B.2 C.8 D.2解析根据已知条件得c，则点在椭圆1(m0)上，1，可得m2.答案B5.(2015湖州一
3、模)已知抛物线y24px(p0)与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A. B.1 C.1 D.解析依题意，得F(p，0)，因为AFx轴，设A(p，y)，y0，y24p2，所以y2p.所以A(p，2p).又点A在双曲线上，所以1.又因为cp，所以1，化简，得c46a2c2a40，即610.所以e232，e1.答案B二、填空题6.已知直线l过椭圆8x29y272的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，则弦|MN|的长为_.解析由得11x218x90.由根与系数的关系，得xMxN，xMxN.由弦长公式|MN|xMxN|.答案7.(20
4、15南阳模拟)直线ykx2与抛物线y28x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是_.解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由消去y得k2x24(k2)x40，由题意得即k2.答案28.过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.答案三、解答题9.已知椭圆C：1(ab0)过点(0，4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.
5、解(1)将(0，4)代入C的方程得1，b4.又由e，得，即1，a5，C的方程为1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y(x3).设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，解得x1，x2.设线段AB的中点坐标为(x，y)，则x，y(x1x26)，即中点坐标为.10.(2015福建卷)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G (1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.法一(1)解由抛物线
6、的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y2(x1).由得2x25x20，解得x2或x，从而B .又G (1，0)，所以kGA，kGB.所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.法二(1)解同法一.(2)证明设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，
7、不妨设A(2，2).由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y2(x1).由得2x25x20.解得x2或x，从而B.又G(1，0)，故直线GA的方程为2x3y20.从而r.又直线GB的方程为2x3y20.所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.11.(2015济南模拟)已知椭圆T：1(ab0)的离心率e，A，B是椭圆T上两点，N(3，1)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆T相交于C，D两点.(1)求直线AB的方程；(2)是否存在这样的椭圆，使得以CD为直径的圆过原点O？若存在，求出该椭圆方程；若不存在，请说明理由.解(1)离心率e
8、，椭圆T：x23y2a2(a0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，设直线AB的方程为yk(x3)1，代入x23y2a2，整理得(3k21)x26k(3k1)x3(3k1)2a20.4a2(3k21)3(3k1)20，x1x2，由N(3，1)是线段AB的中点，得3.解得k1，代入得a212，直线AB的方程为y1(x3)，即xy40.(2)因为CD垂直平分AB，所以直线CD的方程为y1x3，即xy20，代入椭圆方程，整理得4x212x12a20.又设C(x3，y3)，D(x4，y4)，所以x3x43，x3x4，y3y4(x32)(x42).假设存在这样的椭圆使得以CD为直径的圆过原点O，则x3x4y3y40，得a28，又a212，故不存在这样的椭圆.