1、高考资源网（） 您身边的高考专家数列1、（宝山区29）已知抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，如此继续。一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点（1）求的值；（2）令，求证：数列是等比数列；（3）记 为点列 的极限点，求点的坐标解：（1）直线 的方程为，由解得，1分直线的方程为，即由得，2分直线的方程为，即由解得，所以 3分（2）因为，由抛物线的方程和斜率公式得到来源:学。科。网Z。X。X。K 5分所以，两式相减得 6分用代换得， 由（1）知，当时，上式成立，所以是等比数列，通项公式为 7分（3）由 得，
2、 8分 以上各式相加得，10分所以，即点的坐标为 12分来源:Zxxk.Com2、（宝山区32）设数列的首项为常数，且（1）证明：是等比数列；来源:学科网（2）若，中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由（3）若是递增数列，求的取值范围证明：（1）因为，所以数列是等比数列；3分（2）是公比为2，首项为的等比数列通项公式为， 4分若中存在连续三项成等差数列，则必有，即解得，即成等差数列 7分（3）如果成立，即对任意自然数均成立化简得 9分当为偶数时,因为是递减数列，所以，即； 10分当为奇数时，,因为是递增数列，所以，即；11分故的取值范围为 12分3、（崇明县23）已
3、知等差数列满足.（1）求的通项公式；（2）若，数列满足关系式，求数列的通项公式；（3）设（2）中的数列的前项和，对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围.4、（奉贤区28）为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车辆，混合动力型公交车辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入辆设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设、分别为年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。（1）求、，并求年里投入的所有新公
4、交车的总数；（2）该市计划用年的时间完成全部更换，求的最小值（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意知，数列是首项为、公比为的等比数列； 1分数列是首项为、公差为的等差数列， 2分所以数列的前和， 4分数列的前项和， 6分所以经过年，该市更换的公交车总数； 7分（2）因为、是关于的单调递增函数， 9分 因此是关于的单调递增函数， 10分所以满足的最小值应该是， 11分即，解得， 12分又，所以的最小值为147 13分5、（奉贤区30）对于正项数列，若对一切恒成立，则对也恒成立是真命题（1）若，且，求证：数列前项和；（2）若，求证：（1）， 2分， 4分， 6分；
5、7分(2)， 10分 ， 11分， 12分 13分。 14分6、（虹口区22）已知各项均不为零的数列的前项和为，且，其中.（1）求证：成等差数列；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足，且为其前项和，求证：对任意正整数，不等式恒成立.7、（黄浦区22）定义：若各项为正实数的数列满足，则称数列为“算术平方根递推数列”. 已知数列满足且点在二次函数的图像上. (1)试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；(2)记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；(3)从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项 ，把这些项重新组成一个新数列：.(理科)若数列是首项为、公比为的无穷等比数列
6、，且数列各项的和为，求正整数的值(文科) 若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值解(1)答：数列是算术平方根递推数列. 理由：在函数的图像上， ，. 又， 数列是算术平方根递推数列. 证明(2) ， . 又, 数列是首项为,公比的等比数列. . (理)(3)由题意可知，无穷等比数列的首项,公比， 化简，得 若，则.这是矛盾！ . 又时，, . . 来源:Zxxk.Com (文) (3)由题意可知，无穷等比数列的首项,公比， 化简，得 若，则.这是矛盾！ . 又时，, . . 8、（嘉定区23）已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有，成等差数列，成等比数列，且，（
7、1）求证：数列是等差数列；（2）求数列、的通项公式；（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围来源:学_科_网（1）由已知， ， ， （1分）由可得 （2分）将代入，得对任意，有，即,所以，是等差数列 （4分）（2）设数列的公差为，由，得，（1分）所以， （2分）所以，（4分）由已知，当时，而也满足此式（5分）来源:学科网所以数列、的通项公式为：， （6分）（3）由（2），得， （1分）则， （2分）不等式化为， （3分）（以下有两种解法）解法一：不等式化为， （4分）设，则对任意恒成立 （5分）当，即时，不满足条件当，即时，满足条件 当，即时，函数图像的对称轴为直线，关于递减，只需
8、，解得，故 （8分）综上可得，的取值范围是解法二：不等式化为对任意恒成立，即，（5分）设，任取、，且，则，故关于递减 （6分）又且，所以对任意恒成立，所以因此，实数的取值范围是 （8分）9、（金山区21）已知a0且a1，数列an是首项与公比均为a的等比数列，数列bn满足bn=anlgan(nN*)(1)若a=3，求数列bn的前n项和Sn；(2)若对于nN*，总有bn bn+1，求a的取值范围 (1) 由已知有， ，所以，. 7分(2) 即.由且，得，所以或即或对任意nN*成立，且，所以或14分10、（静安区23）在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）文：求；理：求数列的通项公式；（2）文
9、：求数列的通项公式；理：求；（3） 设，问是否存在正整数、（其中），使得，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.（1）因为，所以函数的定义域为实数集；（ 1分）又，所以函数是奇函数（4分）（2）因为，所以在上递增，以下给出证明：任取，设，则=，所以，即，（ 6分）又为奇函数，所以且在上递增所以与同号，所以，当时，（ 8分）（3）， （ 10分）在区间上恒成立，即，或在区间上恒成立，（ 12分）令因为，在递增，所以，解得；所以，（ 16分）文：(1)同理22（1）；（2）由且当时，当时得的值域为实数集。解得，（ 8分）（3）在区间上恒成立，即，或在区间上恒成立，（ 11分）
10、令因为，在递增，所以，解得；所以，（ 16分）11（闵行区22）12、（浦东29）在数列，中，,（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设为数列的前项的和，若对任意，都有，求实数的取值范围.解：（1）因为，即数列是首项为2，公比为的等比数列，所以.3分 ，所以，当时，即.6分 （2）由 得， ，因为，所以.8分 当为奇数时，随的增大而增大，且，；10分 当为偶数时，随的增大而减小，且，.综上，.13分13、（普陀区22）已知数列的前项和为，且，N*（1）求数列的通项公式；（2）已知（N*），记(且)，是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（3）若数列，对于
11、任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列；【解】（1），所以1分由得时，2分两式相减得，3分数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以（）5分（2）由于数列是常数列=6分为常数7分只有,8分；解得,9分此时10分(3)，其中，所以11分当时，12分式两边同时乘以得，13分式减去得，所以14分且15分所以数列是以为首项，公差为的等差数列。16分14、（青浦区22）已知数列是公差不为的等差数列，数列是等比数列，且，数列的前项和为，记点（1）求数列的通项公式；（2）证明：点在同一直线上，并求出直线方程；（3）若对恒成立，求的最小值解（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题设可得因为数列是公
12、差不为0的等差数列，所以，即4分（2）， 即点，在同一条直线上。8分（3） ，9分令，随着的增大而增大10分当为奇数时，在奇数集上单调递减，12分当为偶数时，在偶数集上单调递增，14分，即的最小值是16分15、（松江区22）已知数列的首项为，记().（1）若为常数列，求的值；（2）若为公比为的等比数列，求的解析式；（3）是否存在等差数列，使得对一切都成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由解:（1）为常数列，.4分（2）为公比为的等比数列，.6分，8分故. 10分 （3）假设存在等差数列，使得对一切都成立，设公差为，则 12分且，相加得 ，.恒成立，即 恒成立，.15分故能为等差
13、数列，使得对一切都成立，它的通项公式为 16分 （也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） 16、（徐汇区23）已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称为的“序数列”例如数列：满足，则其序数列为（1）写出公差为的等差数列的序数列；（2）若项数不少于5项的有穷数列、的通项公式分别是()，()，且的序数列与的序数列相同，求实数的取值范围；（3）若有穷数列满足，且的序数列单调递减，的序数列单调递增，求数列的通项公式解：(1)当时，序数列为；.2当时，序数列为.4(2)因为，.5当时，易得，当时，又因，即，故数列的序数列为，.8所以对于数列有，解得：.10(3)
14、由于的序数列单调递减，因此是递增数列，故，于是，而，所以，从而， (1) .12因为的序数列单调递增，所以是递减数列，同理可得，故 (2) .14由(1)(2)得：.15于是 .16.17即数列的通项公式为().1817、（杨浦区23）数列各项均不为0，前n项和为，的前n项和为，且若数列共3项，求所有满足要求的数列；求证：是满足已知条件的一个数列；请构造出一个满足已知条件的无穷数列，并使得；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）。（1）时， 1分 时， 2分 时， 当时， 当时， 3分所以符合要求的数列有：； 4分（2），即证， 用数学归纳法证：1时，成立 6分2假设，成立 7
15、分 则时，等式也成立 9分综合12，对于，都有 是满足已知条件的一个数列。 10分（3） -得 , 11分 时 -得 12分 或 14分构造:) 15分) 16分) 17分) 18分18、（长宁区21）已知函数的图像与轴正半轴的交点为，=1，2，3， (1) 求数列的通项公式；(2) 令为正整数）, 问是否存在非零整数, 使得对任意正整数，都有？ 若存在, 求出的值 , 若不存在 , 请说明理由（理）【解】：（1）设， 得 。 所以4分（2），若存在，满足恒成立即：，6分 恒成立 8分当为奇数时， 10分当为偶数时， 12分所以 13分，故：14分来源:学科网ZXXK19、（长宁区23）已知数
16、列满足(1)设是公差为的等差数列.当时,求的值;(2)设求正整数使得一切均有(3)设当时,求数列的通项公式.【解】(1), 2分 4分(2)由, 5分由,即; 7分由,即 9分. 10分(3)由, 11分故, 13分当时,以上各式相加得 15分当时, 17分, 18分20、（闸北16）设数列an满足：a1=1；所有项anN*；1=a1a2anan+1设集合Am=n|anm，mN*，将集合Am中的元素的最大值记为bm换句话说，bm是数列an中满足不等式anm的所有项的项数的最大值我们称数列bn为数列an的伴随数列例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3（1）若数列an的伴随数列为1，1
17、，1，2，2，2，3，请写出数列an；（2）设an=3n1，求数列an的伴随数列bn的前100之和；（3）若数列an的前n项和Sn=n+c（其中c常数），试求数列an的伴随数列bn前m项和Tm考点：数列的求和；数列的应用专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）根据伴随数列的定义求出数列an；（2）根据伴随数列的定义得：，由对数的运算对m分类讨论求出伴随数列bn的前100项以及它们的和；（3）由题意和an与Sn的关系式求出an，代入anm得，并求出伴随数列bm的各项，再对m分类讨论，分别求出伴随数列bm的前m项和Tm解答：解：（1）1，4，7 （6分）（2）由，得当1m2，mN*时，b1=b
18、2=1（1分）当3m8，mN*时，b3=b4=b8=2（1分）当9m26，mN*时，b9=b10=b26=3（1分）当27m80，mN*时，b27=b28=b80=4（1分）当81m100，mN*时，b81=b82=b100=5（1分）b1+b2+b100=12+26+318+454+520=384（1分）（3）a1=S1=1+c=1c=0（1分）当n2时，an=SnSn1=3n2（2分）由an=3n2m得：因为使得anm成立的n的最大值为bm，所以 （1分）当m=3t2（tN*）时：（1分）当m=3t1（tN*）时：（1分）当m=3t（tN*）时：（1分）所以（其中tN*）（1分）点评：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，是难题- 24 - 版权所有高考资源网
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