1、第4节幂函数与二次函数考试要求1.了解幂函数的概念；结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知 识 梳 理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)yax2bxc(a0；当时，恒有f(x)0时，幂函数yx在(0，)上是增函数.()(3)二次函数yax2bxc(a0)的两个零点可以确定函数的解析式
2、.()(4)二次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)x，故y2x不是幂函数，(1)错.(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.(4)对称轴x，当小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()A. B.1 C. D.2解析因为f(x)kx是幂函数，所以k1.又f(x)的图象过点，所以，所以，所以k1.答案C3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上单调递增，则实数a的取值范围
3、是_.解析当a0时，f(x)2x3在(，4)单调递增.当a0时，f(x)在(，4)上单调递增.则a需满足解得a0.综上可知，a0.答案4.(2016全国卷)已知a2，b3，c25，则()A.bac B.abcC.bca D.caab.答案A5.(2020河南省实验中学质检)已知函数f(x)3x22(m3)xm3的值域为0，)，则实数m的取值范围为()A.0，3 B.3，0C.0，3 D.(，30，)解析依题意，得4(m3)243(m3)0，则m0或m3.实数m的取值范围是0，3.答案A6.(2018上海卷)已知，.若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上递减，则_.解析由yx为奇函数，知取1
4、，1，3.又yx在(0，)上递减，0，取1.答案1考点一幂函数的图象和性质【例1】 (1)幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的大致图象是()(2)(2020衡水中学调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)(m1)xn的图象上，设af，bf(ln )，cf(2)，则a，b，c的大小关系是()A.acb B.abcC.bca D.bac解析(1)设幂函数的解析式为yx，因为幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，所以24，解得.所以y，其定义域为0，)，且是增函数，当0x12，所以f(ln )f(2)f，则bca.答案(1)C(2)A规律方法1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一
5、象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域.根据0，01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【训练1】 (1)(2019荆门模拟)已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()A.奇函数 B.偶函数C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数(2)若幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A.1m0n1 B.1n0mC.1m0n D.1n0m0时，yx在(0，)上为增函数，且01时，图象上凸，0m1.当0时，yx在(0，)上为减函数.不妨令x2，由
6、图象得212n，则1n0.综上可知，1n0m0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是()(2)设函数f(x)x2xa(a0)，已知f(m)0 D.f(m1)0解析(1)若0a1，则yloga x在(0，)上是增函数，y(a1)x2x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.(2)因为f(x)的对称轴为x，f(0)a0，所以f(x)的大致图象如图所示.由f(m)0，得1m0，所以f(m1)f(0)0.答案(1)A(2)C规律方法1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与
7、x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【训练3】 一次函数yaxb与二次函数yax2bxc在同一坐标系中的图象大致是()解析A中，由一次函数yaxb的图象可得a0，此时二次函数yax2bxc的图象应该开口向上，A错误；B中，由一次函数yaxb的图象可得a0，b0，此时二次函数yax2bxc的图象应该开口向上，对称轴x0，B错误；C中，由一次函数yaxb的图象可得a0，b0，此时二次函数yax2bxc的图象应该开口向下，对称轴x0，C正确；D中，由一次函数yaxb的图象可得a0
8、，bxk在区间3，1上恒成立，试求k的取值范围.解(1)由题意知解得所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1.(2)由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成立，即kx2x1在区间3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)知g(x)在区间3，1上是减函数，则g(x)ming(1)1，所以k1，故k的取值范围是(，1).角度2二次函数中的恒成立问题【例42】 (2020沈阳模拟)已知函数f(x)x2ax6，g(x)x4.若对任意x1(0，)，存在x2(，1，使f(x1)g(x2)，则实数a的最大值为()A.6 B.4
9、C.3 D.2解析由题意f(x)maxg(x)max，(*)由g(x)在(，1上单调递增，则g(x)maxg(1)3，f(x)x2ax66.当a0时，f(x)在0，)上单调递减，所以f(x)f(0)6，显然f(x)0时，x(0，)，f(x)maxf6.此时应有63，且a0，解得00，所以f(x)在(，2上是递减的，在2，)上是递增的.(2)x1，1时，f(x)0a(x1)2x1.(*)当x1时，aR，(*)式恒成立.当x1，1)时，(*)式等价于a恒成立.又t在1，1)上是减函数，a.综上知a.答案(1)A(2)A级基础巩固一、选择题1.(2020濮阳模拟)已知函数f(x)(m2m1)xm22
10、m3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m()A.1 B.2 C.3 D.2或1解析由题意，得m2m11，解得m2或m1.当m2时，f(x)x5的图象与坐标轴有交点，不合题意.当m1时，f(x)x4的图象与坐标轴无交点，符合题意.综上可知，m1.答案A2.已知p：|m1|1，q：幂函数y(m2m1)xm在(0，)上单调递减，则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析p：由|m1|1得2m0，又幂函数y(m2m1)xm在(0，)上单调递减，所以m2m11，且m0)，当1x1时，|f(x)|1恒成立，则f_.解析当x1，1时，|f(x)
11、|1恒成立.因此n1，f(0)1，f(1)1.由f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x0，2m0，m2，f(x)2x21，f.答案14.已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x1，1时，函数yf(x)的图象恒在函数y2xm的图象的上方，求实数m的取值范围.解(1)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(x1)f(x)2x，得2axab2x.所以，2a2且ab0，解得a1，b1，又f(0)1，所以c1.因此f(x)的解析式为f(x)x2x1.(2)因为当x1，1时，yf(x)的图象恒在y2xm的图象上方，所以在1，1上，x2x12xm恒成立；即x23x1m在区间1，1上恒成立.所以令g(x)x23x1，因为g(x)在1，1上的最小值为g(1)1，所以m4ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确.对称轴为x1，即1，2ab0，错误.结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误.由对称轴为x1知，b2a.根据抛物线开口向下，知a0，所以5a2a，即5ab，正确.答案B