1、四川省泸州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题1. 双曲线的实轴长是A. 2B. C. 4D. 4【答案】C【解析】试题分析：双曲线方程变形为，所以，虚轴长为考点：双曲线方程及性质2. 若直线与直线平行，则实数a的值为（ ）A. 2B. C. D. 4【答案】D【解析】【分析】讨论的值，由直线平行的性质，求解即可.【详解】当时，直线与直线不平行，不满足题意；当时，由直线与直线平行，则解得：故选：D【点睛】本题主要考查了由直线平行求参数，属于中档题.3. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽
2、取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】试题分析：因为所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人.考点：本小题主要考查分层抽样的应用.点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.4. 若，则下列不等式中一定成立是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】取特殊值排除ACD选项，由幂函数的单调性判断B选项.详解】当时，；则AC错误；当时，则D错误；因为函数在上单调递减，所以故选：B【点睛】本题主要考查了由所给条件判断不等式是否成立，属于中档题.5. 设命题，
3、关于x的方程没有实数根，命题q：直线倾斜角的范围是，则下列关系中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别判断这两个命题的真假，即可得出答案.【详解】方程没有实数根，等价于，即，则命题为真命题；根据直线倾斜角的性质可得，命题为真命题；所以都为假命题即为假命题；为假命题；为假命题；为真命题故选：C【点睛】本题主要考查了判断且，非联结的命题的真假，属于基础题.6. 若方程表示曲线为焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的性质得出不等式组，即可得出答案.【详解】由题意可得，解得故选：A【点睛】本题主要考查了
4、由方程表示椭圆求参数范围，属于中档题.7. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入成立；，成立；，成立；，不成立，输出.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.8. 设表示平面，表示直线，则的充分条件是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系进
5、行判断即可.【详解】当，时，可能，则A错误；当，时，由面面垂直的性质得出，可能在内，则B错误；当，时，由线面垂直的判定定理得出，当时，得不到，则C错误；当，时，则可以在内分别找到异于的直线，使得，根据线面垂直的性质得出，则，由直线与平面平行的性质得出，则，则D正确；故选：D【点睛】本题主要考查了判断直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.9. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A. 12B. 45C. 57D. 81【答案】C【解析】由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱故它的体积是532+32=57故选C
6、10. 若关于x的不等式至少有一个负实数解，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将该不等式问题，转化为函数的交点问题，利用图象即可得出实数a的取值范围.【详解】关于x的不等式等价于若不等式至少有一个实数解，则函数与的图象有交点在同一坐标系中，画出函数与的图象，如下图所示当的图象右边部分与相切时，有唯一解，即有唯一解，则，解得当的图象左边部分过时，求得则实数a的取值范围是故选：D【点睛】本题主要考查了由函数的零点求参数范围，属于中档题.11. 抛物线的焦点为F，点M在C上，已知点，则的最大值为（ ）A. 2B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】过点
7、作抛物线的垂线，垂足于，结合抛物线的定义得出，讨论的值，由的几何意义，即可得出的最大值.【详解】过点作抛物线的垂线，垂足于设，则由抛物线的定义得：当时，当时，表示直线的斜率，设直线由，得，解得或则的最大值为故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线上的点到定点的距离以及斜率公式的应用，属于中档题.12. 已知双曲线的左，右焦点分别为，离心率为，过作圆的切线交双曲线右支于点M，则的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据几何关系得出直线的方程，与双曲线方程联立得出的坐标，根据距离公式以及余弦定理即可得出答案.【详解】由题意可得设切点为，连，则，即直线将式代入得，解得则由双曲线
8、定义得由余弦定理得故选：D【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系求参数，属于中档题.二、填空题13. 双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】根据方程得出，即可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】根据双曲线的方程得则其渐近线方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了求双曲线的渐近线方程，属于基础题.14. 在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间内的概率为_.【答案】【解析】【分析】利用几何概型求概率即可.【详解】将取出的两个数用表示，则要求这两个数的平方和在内，则由图可知，表示图中阴影部分则这两个数的平方和在区间内的概率为故答案为：【点睛】本题主要考查了几何概型计算概率，属于
9、中档题.15. 在三棱锥中，平面平面，与都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据几何关系确定该三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式即可得出答案.【详解】设外接球的球心为，半径为，的中点为，的外接圆圆心分别为，连接，如下图所示则，为平面与平面的交线即平面，平面，平面，平面故四边形为矩形，则该三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题主要考查了几何体的外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.16. 不等式对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】分离参数，令，根据不等式的性质得出，设，根据函数单调性的定义得出其值域，即可确定
10、的范围.【详解】依题意，不等式等价于，设及，即，则令，令时，当时，则当时，则所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增则，即故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次不等式在某区间上的恒成立问题，涉及求函数的值域，属于中档题.三、解答题17. 在平面直角坐标系xOy中，圆，过点与（1）求圆C的方程；（2）若圆C上有两点M，N关于直线对称，且，求直线MN的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）将点与代入圆的方程，解方程组即可得出圆C的方程；（2）由两直线垂直的关系设出直线MN的方程，结合圆的弦长公式以及点到直线的距离公式，即可得出直线MN的方程.【详解】（1）由，解得则圆C的方程为，即
11、（2）由（1）可得，圆的圆心坐标为由于关于直线对称，则所在的直线与直线垂直设所在直线方程为，圆心到直线的距离由弦长公式得，解得圆心到直线的距离解得即直线MN的方程为或【点睛】本题主要考查了求圆方程以及直线与圆的位置关系的应用，属于中档题.18. 某厂通过节能降耗技术改造后，记录了生产A产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组统计数据，如下表：x30405060y25304045（1）利用所给数据求y关于x的回归直线方程；（2）已知该厂技改前100吨A产品的生产能耗为90吨标准煤，请你预测该厂技改后100吨A产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？参考公式：最小二乘法估计分别
12、为，.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用最小二乘法得出回归方程即可；（2）将代入回归方程，即可得出答案.【详解】（1），即（2）当时，则该厂技改后100吨A产品的生产能耗比技改前降低吨标准煤【点睛】本题主要考查了求回归方程以及根据回归方程进行数据估计，属于中档题.19. 某校抽取了100名学生期中考试的英语和数学成绩，已知成绩都不低于100分，其中英语成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是，.（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生英语成绩的平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）若这100名学生数学成绩分数段的人数y的情况如下表所示：分组区间y1540
13、40mn且区间内英语人数与数学人数之比为，现从数学成绩在的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成绩在的概率.【答案】（1）这100名学生英语成绩的平均数和中位数分别为，（2）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图求平均数，中位数的方法求解即可；（2）利用题设条件得出的值，再由古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）这100名学生英语成绩的平均数为设这100名学生英语成绩的中位数为直方图可知对应的频率分别为，解得则这100名学生英语成绩的中位数为（2）区间内英语人数为人区间内数学人数为人设数学成绩在的人记为，数学成绩在的人记为则从数学成绩在的学生中随机选取2人的所有情况为，共10
14、种，其中选出的2人中恰好有1人数学成绩在有6种即选出的2人中恰好有1人数学成绩在的概率为【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图计算平均数，中位数以及古典概型概率的求解，属于中档题.20. 如图，多面体ABCDE中，平面ACD，平面ACD，点F为CE中点.（1）证明平面ACD；（2）求AF与平面ABED所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用向量法求解即可.【详解】（1）取的中点为，连接平面ACD，平面ACD，且在中，分别是中点，且且即四边形为平行四边形平面ACD，平面ACD平面ACD（2）由（1）可知，平面平面，以点作为坐标原点
15、，建立如下图所示的空间直角坐标系，设平面的法向量为取，则设AF与平面ABED所成角为【点睛】本题主要考查了证明线面平行以及利用向量法证明线面角，属于中档题.21. 已知点，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，设点M的轨迹为C.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线与轨迹C交于D、E两点，若，求弦长的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据斜率公式得出直线AM的斜率与直线BM的斜率，由题意得出点M的轨迹C的方程；（2）将转化为，结合韦达定理以及弦长公式，即可得出答案.【详解】（1）设，由题意得，则，即，化简得故点M的轨迹C的方程为（2）设，则将代入中，
16、得，则，解得或当时，与的交点为和，则不成立【点睛】本题主要考查了求平面轨迹方程以及直线与抛物线相交的弦长，属于中档题.22. 已知椭圆左、右顶点分别为A、B，上顶点为D(0,1)，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点E是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AE、BE与直线分别交于M、N两点，当线段MN的长度最小时，椭圆C上是否存在点T使的面积为？若存在，求出点T的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的性质列出方程组，即可得出椭圆方程；（2）根据题意表示出的坐标，进而得出直线的方程以及弦长，由的面积得出点到直线的距离，将该距离转化为两平行直线的距离，即可得出的坐标.【详解】（1）椭圆C的标准方程为（2）显然直线的斜率存在，设为，并且，则设，由，解得由，得到由，得出，则，即，所以直线由，得出当且仅当时，取等号，则此时，直线若椭圆C上存在点T使的面积为，则点到直线的距离为即过点且与直线平行的直线到直线的距离为设该直线为，则，解得或当时，由，解得或当时，由得由于，则不成立综上，存在或，使的面积为【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中三角形的面积问题，属于较难题.