1、第1节变化率与导数、导数的计算考试要求1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数yc(c为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数.知 识 梳 理1.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处
2、的切线的斜率.相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0).2.函数yf(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当xx0时，f(x0)是一个确定的数，当x变化时，f(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，yf(x)的导函数有时也记作y，即f(x)y.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，
3、a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.常用结论与微点提醒1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)0.2.(f(x)0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化
4、的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)sin(x)的导数f(x)cos x.()(3)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0).()(4)曲线yf(x)在某点处的切线与曲线yf(x)过某点的切线意义是相同的.()解析(1)f(x0)表示yf(x)在xx0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)sin(x)sin x，则f(x)cos x，(2)错.(3)求f(x0)时，应先求f(x)，再代入求值，(
5、3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材选修22P19B2改编)已知函数f(x)，则函数在x1处的切线方程是()A.2xy10 B.x2y20C.2xy10 D.x2y20解析由f(x)，得f(x)，又f(1)1，f(1)2.因此函数在x1处的切线方程为y12(x1)，即2xy10.答案A3.(老教材选修22P3问题2改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于
6、水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v_ m/s，加速度a_ m/s2.解析vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8.答案9.8t6.59.84.(2019全国卷)曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为()A.xy10 B.2xy210C.2xy210 D.xy10解析设yf(x)2sin xcos x，则f(x)2cos xsin x，曲线在点(，1)处的切线斜率kf()2，故切线方程为y12(x)，即2xy210.答案C5.(2019新乡模拟)设f(x)ln(32x)cos 2x，则f(0)_.解析f(x)2sin 2x，所以f(0).答
7、案6.(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_.解析y3(2x1)ex3(x2x)ex3ex(x23x1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率ke033，所以所求切线方程为y3x.答案y3x考点一导数的运算多维探究角度1根据求导法则求函数的导数【例11】 求下列函数的导数：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)yxsincos.解(1)f(x).(2)由已知f(x)xln x.f(x)1.(3)yxsin cos xsin(4x)xsin 4x，ysin 4xx4cos 4xsin 4x2xcos 4x.角度2抽象函数的导数【例12】 已知函数f(x)的导函数为
8、f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(1)_.解析因为f(x)x23xf(2)ln x，f(x)2x3f(2).令x2，得f(2)43f(2)，则f(2).f(1)1310.答案规律方法1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.【训练1】 (1)(角度1)已知f(x)ln ，则f(x)_.(2)(角度2)(2020雅礼中学月考)已知函数f(x)的导函数是f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln ，则f(1)()A.e
9、 B.2 C.2 D.e(3)(角度1)(2020天津重点学校联考)已知函数f(x)(x2a)ln x，f(x)是函数f(x)的导函数，若f(1)2，则a_.解析(1)f(x).(2)由已知得f(x)2f(1)，令x1得f(1)2f(1)1，解得f(1)1，则f(1)2f(1)2.(3)由f(x)(x2a)ln x，得f(x)2xln x.f(1)1a2，解得a3.答案(1)(2)B(3)3考点二导数的几何意义【例2】 (1)(2020安徽江南十校联考)曲线f(x)在点P(1，f(1)处的切线l的方程为()A.xy20 B.2xy30C.3xy20 D.3xy40(2)(2019江苏卷)在平面
10、直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_.解析(1)因为f(x)，所以f(x).又f(1)1，且f(1)3.故所求切线方程为y13(x1)，即3xy40.(2)设A(m，n)，则曲线yln x在点A处的切线方程为yn(xm).又切线过点(e，1)，所以有n1(me).再由nln m，解得me，n1.故点A的坐标为(e，1).答案(1)D(2)(e，1)规律方法1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，
11、切线方程为xx0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点不知道，要设出切点，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.【训练2】 (1)(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y2x B.yxC.y2x D.yx(2)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.解析(1)因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以a10，则a1，所以f(x)x3x.f(x)3x21，则f(0)1.所以曲线yf(x)在点(0，0)处
12、的切线方程为yx.(2)函数yex的导函数为yex，曲线yex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01.设P(x0，y0)(x00)，函数y的导函数为y，曲线y(x0)在点P处的切线的斜率k2，由题意知k1k21，即11，解得x1，又x00，x01.又点P在曲线y(x0)上，y01，故点P的坐标为(1，1).答案(1)D(2)(1，1)考点三导数几何意义的应用【例3】 (1)(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()A.ae，b1 B.ae，b1C.ae1，b1 D.ae1，b1(2)(2019泉州质检)若曲线yx2与yaln x(a0)存在公共切
13、线，则实数a的取值范围是()A.(0，2e B.(0，eC.(，0)(0，2e D.(，0)(0，e解析(1)yaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又已知切线方程为y2xb，即(2)设切线在曲线yx2上的切点坐标为(x0，x)，则切线方程为y2x0xx，切线在yaln x上的切点为(x1，aln x1)，该切线方程为yxaaln x1由于两曲线有相同的公切线，因此2x0，xaln x1a，消去x0，得a4x4xln x1，设g(x)4x24x2ln x，g(x)4x8xln x，得到g(x)在(0，e)递增，在(e，)递减，故g(x)最大
14、值为2e.又x时，g(x)；当x0时，g(x)0.所以a的取值范围为(，0)(0，2e.答案(1)D(2)C规律方法1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.【训练3】 (1)(2020重庆调研)已知直线y是曲线yxex的一条切线，则实数m的值为()A. B.e C. D.e(2)(2020淄博联考)若函数f(x)ln x2x2ax的图象上存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(，6 B.(，6
15、2，)C.2，) D.(，6)(2，)解析(1)设切点坐标为，由yxex，得y(xex)exxex.若直线y是曲线yxex的一条切线，y|xnennen0，解得n1，因此nen，故me.(2)直线2xy0的斜率k2，又曲线f(x)上存在与直线2xy0平行的切线，f(x)4xa2在(0，)内有解，则a4x2，x0.又4x24，当仅当x时取“”.a422.答案(1)B(2)CA级基础巩固一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是()A.(3x)3xln 3 B.(x2ln x)2xln xxC. D.(sin xcos x)cos 2x解析因为，C项错误.答案C2.(2020唐山模拟)已知函数f(x
16、)为奇函数，则曲线f(x)在x2处的切线斜率等于()A.6 B.2 C.6 D.8解析f(x)为奇函数，则f(x)f(x).取x0，得x22x(x2ax)，则a2.当x0时，f(x)2x2.f(2)2.答案B3.函数yexx1在点(0，2)处的切线方程是()A.y2x2 B.y2x2C.yx2 D.yx2解析函数yexx1的导数为yex1，可得在点(0，2)处的切线的斜率为k2，所求切线方程为y2x2.答案B4.(2020哈尔滨调研)若函数f(x)在R上可导，且f(x)x22f(1)x3，则()A.f(0)f(4) D.以上都不对解析函数f(x)的导数f(x)2x2f(1)，令x1，得f(1)
17、22f(1)，即f(1)2，故f(x)x24x3(x2)21，所以f(0)f(4)3.答案B5.(2020安徽江南十校联考)若曲线yaln xx2(a0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a()A. B. C. D.解析因为yaln xx2(a0，x0)，所以y2x2，当且仅当x时取等号.因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，则斜率k，因此2，所以a.答案B6.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设a，则下列不等式正确的是()A.af(2)f(4)B.f(2)af(4)C.f(4)f(2)aD.f(2)f(4)a解析由函数f(x)的图象可知，在0，)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在0，)上的切线斜率也越来越大.因为a，所以f(2)a0)处的切线与直线xy20平行，则y|xx0|xx02x01.x01，y01，则P(1，1)，则曲线yx2ln x上的点到直线xy20的最短距离d.答案C级创新猜想17.(多填题)已知函数f(x)x2bxc(b，cR)，F(x)，若F(x)的图象在x0处的切线方程为y2xc，则b_，函数f(x)的最小值是_.解析f(x)2xb，F(x)，F(x).又F(x)的图象在x0处的切线方程为y2xc.解之得bc4.故f(x)x24x4(x2)20，则f(x)min0.答案40