1、2.3.1 平面向量基本定理教学设计教学分析 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。本课时内容包含“平面向量基本定理”和“平面向量的正交分解及坐标表示”.此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标运算，更多的是向量的代数形态。平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位. 平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内
2、任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.三维目标根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。（1）知识与技能：了解平面向量基本定理及其意义,会做出由一组基地所表示的向量会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式（2）过程与方法：通过平面向量基本定理的得出过程，体会由特殊到一般的思维方法，培养学生的归纳总结能力；体验用
3、基底表示平面内任一向量的方法.（3）情感态度与价值观：引导学生从生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和应用意识，提高学习数学的兴趣，感受数学的魅力重点难点教学重点:平面向量基本定理的探究过程及其应用.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程一、 复习导入 1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？ 2. 怎样理解向量的数乘运算？ 设计意图：通过复习与本节课有关的相关向量知识，让学生在引导过程中，能够做到有据可依.二、导入新课1.如图：一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.这三者是什么关系？ 在物理学中
4、我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？ 提出问题如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 图1给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢?如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的
5、向量,a是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系. 活动:如图1,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a.过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA;过点C作平行于直线OA的直线,与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数1、2,使得=1e1,=2e2.由于,所以a=1e1+2e2.也就是说,任一向量a都可以表示成1e1+2e2的形式. 由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来.当e1、e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e1、e2是同
6、一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2.定理说明:(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线，并且基底的选取有无数组;(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:可以.a=1e1+2e2.例题讲解例1 如图,ABCD的对角线AC和BD交于点M，=a,=b,试用基底a,b表示向量，和. 活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出
7、表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:a+b.因为平行四边形的对角线互相平分，所以=，点评:综合考察了平行四边形中，以共起点的两条边为基底的和向量与差向量，以及向量共线定理.变式训练图5已知向量e1、e2(如图5),求作向量-2.5e1+3e2.作法:(1)如图,任取一点O,作=-2.5e1,=3e2.(2)作OACB.故OC就是求作的向量.例2 设，是平面内的一组基底，如果，求证：A，B，D三点共线.分析 欲证A，B，D三点共线，只需证明共起点的两个向量与共线，即证明.证 =()+()+()=5.所以与共线.又与有公共点A，所以A，B，D三点共线.点评 构造法：利用三点构造两
8、个向量共线.变式训练i,j是两个不共线的向量,已知=3i+2j,=i+j,=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数的值.解:=-=(-2i+j)-(i+j)=-3i+(1-)j,又A、B、D三点共线,向量与共线.因此存在实数,使得=,即3i+2j=-3i+(1-)j=-3i+(1-)j.i与j是两个不共线的向量,故当A、B、D三点共线时,=3.课堂小结 平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点.1. 先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,平面向量的正交分解；2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业P76 练习1-6