1、93圆的方程1圆的定义在平面内，到 的距离等于 的点的 叫圆确定一个圆最基本的要素是 和 2圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程：方程(x-a)2(y-b)2r2(r0)叫做以点_为圆心，_为半径长的圆的标准方程(2)圆的一般方程：方程x2y2DxEyF0(_)叫做圆的一般方程注：将上述一般方程配方得，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以_为圆心，_为半径长的圆3点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：圆的标准方程(x-a)2(y-b)2r2(r0)，点M(x0，y0)，(1)点M在圆上：_；(2)点M在圆外：_；(3)点M在圆内：_.4确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是
2、待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程自查自纠1定点定长集合圆心半径长2(1)(a，b)r(2)D2E2-4F0 3(1)(x0-a)2(y0-b)2r2(2)(x0-a)2(y0-b)2r2(3)(x0-a)2(y0-b)2r2 方程x2y24mx-2y5m0表示圆的充要条件的是()A.m1 Bm1Cm1解：由(4m)24-45m0，得m1.故选B. ()若P(2，-1)为圆M：(x-1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A2xy-30 Bx-y
3、-30Cxy-10 D2x-y-50解：依题意知圆心M(1，0)，MPAB，而kMP-1，所以kAB1，因为直线AB过点P(2，-1)，所以直线AB的方程为y-(-1)x-2，即x-y-30.故选B. ()已知点M是直线3x4y-20上的动点，点N为圆(x1)2(y1)21上的动点，则|MN|的最小值是()A. B1 C. D.解：圆心(-1，-1)到点M的距离的最小值为点(-1，-1)到直线3x4y-20的距离，根据点到直线的距离公式得d ，故点N到点M的距离的最小值为d-1.故选C. ()若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_解：因为点(1，0)关于直
4、线yx的对称点为(0，1)，所以圆心为(0，1)所以圆C的标准方程为x2(y-1)21.故填x2(y-1)21. ()在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx-y-2m-10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解法一：圆心到直线的距离d，当且仅当m1时取等号故m1时，圆的半径最大为，因此所求圆的标准方程为(x-1)2y22.解法二：因为直线mx-y-2m-10恒过定点(2，-1)，所以当点(2，-1)为切点时，半径最大，此时半径为.故所求圆的标准方程为(x-1)2y22.故填(x-1)2y22.类型一求圆的方程已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2
5、为直径的圆的方程，并且判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外解法一(待定系数法)：根据已知条件，圆心C(a，b)是P1P2的中点，那么它的坐标为a5，b6.再根据两点的距离公式，得圆的半径长是r|CP1|.因此所求圆的方程是(x-5)2(y-6)210.解法二(轨迹法)：因为P1P2为直径，所以圆上任意一点与P1，P2的连线互相垂直设P(x，y)为所求圆上任意一点，因为PP1PP2，所以kPP1kPP2-1，即-1，得x2y2-10x-12y510，其标准形式(x-5)2(y-6)210即为所求方程分别计算点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与圆心C(
6、5，6)的距离，得|CM|，|CN|，|CQ|3.因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内【点拨】(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件从圆的标准方程来讲，关键在于求出圆心坐标和半径长；从圆的一般方程来讲，若知道圆上的三个点则可求出圆的方程因此，待定系数法是求圆的方程的常用方法(2)用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”等(3)常见圆的方程的设法：标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2y2r2x2y2-r20过原点(x-a)2(y-b)2a2b2x2y2DxEy0圆心在x轴上(x-a)2y2r2x2y2DxF0圆心在y轴上x2(y-b)2r2x2
7、y2EyF0与x轴相切(x-a)2(y-b)2b2x2y2DxEyD20与y轴相切(x-a)2(y-b)2a2x2y2DxEyE20根据下列条件，求圆的方程(1)经过P(-2，4)，Q(3，-1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y-4x上，且与直线l：xy-10相切于点P(3，-2)解：(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0.设x1，x2是方程的两根，则x1x2-D，x1x2F.由|x1-x2|6有D2-4F36，由解得或故所求圆的方程为x2y2-2x-4y-80，或x2y2-6x-8y0.(2)设圆心M(x0，-4x0
8、)，则kMP-1，即1，解得x01，即圆心坐标为(1，-4)，半径r2，故圆的方程为(x-1)2(y4)28.类型二三角形的内切圆与外接圆已知三角形的三边所在直线方程分别为x2y5，2x-y5，2xy5，则三角形的内切圆方程为_解：设内切圆圆心为I(a，b)，半径长为r.由点到直线的距离知r，又因为三角形的内心总在这三角形的内部，所以根据线性规划的知识得r.由2a-b-5a2b-5，得a3b，由2a-b-5-(2ab-5)，得a.将a代入式，得b.所以r.故所求圆的方程为.故填.【点拨】设出圆的圆心坐标后，利用三角形内切圆的性质和点到直线的距离公式得到关于圆心坐标的方程组，解此方程组得圆心坐标
9、后再求圆的半径长求解过程中需要注意：内切圆的圆心总在三角形的内部，因此需要应用线性规划的有关知识判断绝对值中代数式的符号，否则会求出多解(其他的解是三个旁切圆的圆心)ABC的三个顶点分别为A(-1，5)，B(-2，-2)，C(5，5)，则其外接圆的方程为_解法一：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则由题意有解得故所求圆的方程为x2y2-4x-2y-200.解法二：由题意可求得线段AC的中垂线方程为x2，线段BC的中垂线方程为xy-30，所以圆心是两中垂线的交点(2，1)，半径r5.故所求圆的方程为2225.故填2225.类型三与圆有关的综合问题()如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为
10、圆心的圆M：x2y2-12x-14y600及其上一点A(2，4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围解：圆M的标准方程为(x-6)2(y-7)225，所以圆心M(6，7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，于是圆N的半径为y0，从而7-y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为(x-6)2(y-1)21.(2)因为直线lOA，所以直
11、线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2x-ym0，则圆心M到直线l的距离d.因为BCOA2，而MC2d2，所以255，解得m5或m-15.故直线l的方程为2x-y50或2x-y-150.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为A(2，4)，T(t，0)，所以因为点Q在圆M上，所以(x2-6)2(y2-7)225.将代入得(x1-t-4)2(y1-3)225.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆2(y-3)225上，从而圆(x-6)2(y-7)225与圆2(y-3)225有公共点，所以5-555，解得2-2t22.因此，实数t的取值范围是【点拨】直线与圆中三个定理：切线的性质定
12、理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线的距离公式及弦长公式，其核心都是将问题转化到与圆心、半径的关系上，这是解决与圆有关的综合问题的根本思路对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P为主元，揭示P在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系()已知过原点的动直线l与圆C1：x2y2-6x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由解：(1)C1：(
13、x-3)2y24，圆心C1(3，0)(2)由垂径定理知，C1MAB，故点M在以OC1为直径的圆上，即y2.故线段AB的中点M的轨迹C的方程是y2在圆C1：(x-3)2y24内部的部分，即y2.(3)联立解得不妨设其交点为P1，P2，设直线L：yk(x-4)所过定点为P(4，0)，则kPP1-，kPP2.当直线L与圆C相切时，解得k.故当k时，直线L与曲线C只有一个交点1注意应用圆的几何性质解题圆的图形优美，定理、性质丰富，在学此节时，重温圆的几何性质很有必要，因为使用几何性质，能简化代数运算的过程，拓展解题思路2圆的方程的确定由圆的标准方程和圆的一般方程，可以看出方程中都含有三个参数，因此必须
14、具备三个独立的条件，才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法3求圆的方程的方法(1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程确定圆心的位置的方法一般有：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；两圆相切时，切点与两圆圆心共线确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半，弦心距，半径组成的三角形)，并解此直角三角形(2)代数法：即设出圆的方程，用“待定系数法”求解1圆x
15、2y2-2x4y30的圆心到直线x-y1的距离为()A2 B C1 D.解：已知圆的圆心是(1，-2)，则圆心到直线x-y1的距离是.故选D.2()若圆x2y2-2ax3by0的圆心位于第三象限，那么直线xayb0一定不经过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解：圆x2y2-2ax3by0的圆心为，则a0.直线y-x-，则k-0，-0，所以直线不经过第四象限故选D.3()以点(2，-1)为圆心且与直线3x-4y50相切的圆的方程为()A(x-2)2(y1)23 B(x2)2(y-1)23C(x-2)2(y1)29 D(x2)2(y-1)29解：因为圆心(2，-1)到直线3x-4y5
16、0的距离d3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x-2)2(y1)29.故选C.4()若坐标原点在圆(x-m)2(ym)24的内部，则实数m的取值范围是()A(-1，1) B(-，)C(-，) D.解：因为(0，0)在(x-m)2(ym)24的内部，所以(0-m)2(0m)24，解得-m0，所以2m0，由4-a，解得a，所以该圆的方程为y2.故填y2.9已知圆经过A(2，-3)和B(-2，-5)两点，若圆心在直线x-2y-30上，求圆的方程解法一：线段AB中垂线的方程为2xy40，它与直线x-2y-30的交点(-1，-2)为圆心，由两点间的距离公式得r210，所以圆的方程为(x1)2(y2)21
17、0.解法二：设方程(两种形式均可以)，由待定系数法求解10已知圆C和直线x-6y-100相切于点(4，-1)，且经过点(9，6)，求圆C的方程解：因为圆C和直线x-6y-100相切于点(4，-1)，所以过点(4，-1)的直径所在直线的斜率为-6，其方程为y1-6(x-4)，即y-6x23.又因为圆心在以(4，-1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y-上，即5x7y-500上，所以由解得即圆心为(3，5)，从而半径为，故所求圆的方程为(x-3)2(y-5)237.11已知定点A(4，0)，P点是圆x2y24上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程解：设Q点坐标为(x，y)，P点坐标为(x
18、P，yP)，则x且y，即xP2x-4，yP2y，又点P在圆x2y24上，所以xy4，将xP2x-4，yP2y代入得(2x-4)2(2y)24，即(x-2)2y21.故所求轨迹方程为(x-2)2y21. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)x22xb(xR)与两坐标轴有三个交点记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论解：(1)令x0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)令f(x)0，得x22xb0，由题知b0，且0，解得b1且b0.(2)设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，这与x22xb0是同一个方程，故D2，Fb.令x0，得y2Eyb0，此方程有一个根为b，代入得E-b-1.所以圆C的轨迹方程是x2y22x-(b1)yb0.(3)圆C过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为xy2x0-y0b(1-y0)0.(*)为使(*)式对所有满足b1且b0的b都成立，必须有1-y00，结合(*)式得x2x00，解得或经检验知，点(0，1)，(-2，1)均在圆C上因此，圆C过定点