1、第2课时等差数列的性质学 习 任 务核 心 素 养1理解等差中项的概念(重点)2掌握等差数列中两项及多项之间的关系(重点、易错点)3能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)1借助等差数列中项的学习，提升数据分析的素养2通过等差数列性质的学习，培养逻辑推理、数学运算的素养九章算术是中国古代第一部数学专著，全书收集了246个数学问题，其中一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为多少？提示升知识点1等差中项如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与
2、y的等差中项，且A在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项A为x与y的等差中项是A的充要条件1数列an满足an1(nN)，则数列an是等差数列吗？为什么？提示这个数列一定是等差数列，理由如下：由an1(anan2)(nN)，可知an1anan2an1对任意的正整数n都成立，所以a2a1a3a2a4a3an1anan2an1，这就是说，数列an从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，所以这个数列是等差数列由此我们可得到一个重要的结论：an为等差数列an1，nN这是判断一个数列为等差数列的另一个方法1.17，13的等差中项为_15设A为其等差中项，则A15知识点2
3、等差数列的性质an是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p，q满足stpq，则asatapaq特别地，当pq2s(p，q，sN)时，apaq2as对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1ana2an1akank12在等差数列an中，2anan1an1(n2)成立吗？2anankank(nk0)是否成立？提示令stn，pn1，qn1，可知2anan1an1成立；令stn，pnk，qnk，可知2anankank也成立拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列(2)若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数)是公差为d的等差数列；c
4、an(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；anank(k为常数，kN)是公差为2d的等差数列(3)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为pd1qd2的等差数列2(1)在等差数列an中，若a35，a57，则a7()A1B9C1D6B由题意可知a3a72a5，a72a5a31459，故选B(2)在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10()A12 B16 C20 D24B在等差数列中，由性质可得a2a10a4a816 类型1等差中项及其应用【例1】(1)在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列；(2)已知数列xn的
5、首项x13，通项xn2npnq(nN，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求p，q的值解(1)1，a，b，c，7成等差数列，b是1与7的等差中项b3又a是1与3的等差中项，a1又c是3与7的等差中项，c5该数列为1，1，3，5，7(2)由x13，得2pq3，又x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，即q1，将代入，得p1所以pq1三个数a，b，c成等差数列的条件是b(或2bac)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题如若证an为等差数列，可证2an1anan2(nN)跟进训练1已知a，b，则a，b的等差中项为()ABCDA因为ab2，所以
6、a，b的等差中项为 类型2等差数列性质的应用【例2】在公差为d的等差数列an中(1)已知a2a3a23a2448，求a13；(2)已知a2a3a4a534，a2a552，求d思路点拨本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决解法一：(1)化成a1和d的方程如下：(a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48，即4(a112d)484a1348a1312(2)化成a1和d的方程如下：解得或d3或3法二：(1)根据已知条件a2a3a23a2448，及a2a24a3a232a13得4a1348，a1312(2)由a2a3a4a534，及a3a
7、4a2a5得2(a2a5)34，即a2a517解得或d3或d31利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法2巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程3通项公式的变形形式anam(nm)d(m，nN)，它又可变形为d，应注意把握，并学会应用跟进训练2设数列an，bn都是等差数列若a1b17，a3b321，则a5b5_35法一：设数列an，bn的公差分别为d1，d2，因为a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735法二：数列an
8、，bn都是等差数列，数列anbn也构成等差数列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，2217a5b5，a5b535 类型3等差数列的设法与求解1对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：(1)设这三个数分别为a，b，c(2)设该数列的首项为a，公差为d，则这三个数分别为a，ad，a2d(3)设该数列的中间项为b，公差为d，则这三个数分别为bd，b，bd那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？提示方法(3)可能更便捷一些2如果四个数成等差数列，如何设更方便运算？提示可以设四个数分别为a3d，ad，ad，a3d【例3】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数解
9、法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得解得或这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得化简，得解得或这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2法三：设这四个数分别为a3d，ad，ad，a3d，根据题意，得化简，得解得这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，21当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列2当已知数列有2n项时，可设为a(2n1)d，a3d，ad，ad，a3d，a(2n1)d，此时公差为2d3当已知数列有2n1项时，可设为
10、and，a(n1)d，ad，a，ad，a(n1)d，and，此时公差为d跟进训练3三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数解设这三个数依次为ad，a，ad，则解得这三个数为4，3，21在等差数列an中，a25，a633，则a3a5()A36B37C38D39Ca3a5a2a6533382已知等差数列an，则使数列bn一定为等差数列的是()AbnanBbnaCbnDbnA数列an是等差数列，an1and(常数)对于A：bn1bnanan1d，正确；对于B不一定正确，如ann，则bnan2，显然不是等差数列；对于C，D：及不一定有意义，故选A3若5，x，y，z，21成等差数
11、列，则xyz_395，x，y，z，21成等差数列，y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，5212y，y13，xz2y26，xyz394已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12_15在等差数列an中，由于a7a9a4a12，所以a12(a7a9)a416115回顾本节知识，自我完成以下问题：1等差数列的常用性质有哪些？提示(1)在等差数列an中，当mn时，d为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为anam(nm)d(2)等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列(3)等差数列an中，若mnpq，则amanapaq(n，m，p，qN)，特别地，若mn2p，则aman2ap2求解等差数列问题的基本思路是什么？提示等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量