1、72一元二次不等式及其解法1解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是_；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的_；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示2一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为axb(a0)的形式当a0时，解集为_；当a0时，解集为_若关于x的不等式axb的解集是R，则实数a，b满足的条件是_3一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为_不等式(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的
2、解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)(其中a0)的形式，其对应的方程ax2bxc0有两个不相等的实根x1，x2，且x1x2(此时b2-4ac0)，则可根据“大于号取_，小于号取_”求解集(4)一元二次不等式的解：函数、方程与不等式000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1x2无实根ax2bxc0(a0)的解集Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx24.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型方
3、法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f(x)g(x)0；0 f(x)g(x)0；0 0 自查自纠1(1)同解不等式(2)同解变形2.a0，b03(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4) ()设集合Ax|x2x-60，集合B为函数y的定义域，则AB等于()A(1，2) B C解：Ax|x2x-60x|-3x2，由x-10得x1，即Bx|x1，所以ABx|1x2故选D. ()不等式1的解集是()A(-，-1)(1，) B(1，)C(-，-1) D(-1，1)解：因为1，所以-10，即0，所以x1.故选A. ()不等式(a-2)x22(a-2)
4、x-40，对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(-，2 B(-2，2C(-2，2) D(-，2)解：当a2时，有 所以-2a2.当a2时，原式化为-40，恒成立所以-2a2.故选B. 不等式2x2-x4的解集为_解：由2x2-x4得x2-x2，解得-1x2，即不等式2x2-x4的解集为x|-1x2故填x|-1x2 ()若关于x的不等式x2(2-m)x0的解集是x|0x2，则实数m_.解：由题知x0和x2是方程x2(2-m)x0的根，代入可得m3.故填3.类型一一元一次不等式的解法已知关于x的不等式(ab)x2a-3b0的解集为，则关于x的不等式(a-3b)xb-2a0的解集为_解：由(
5、ab)x3b-2a的解集为，得ab0，且-，从而a2b，则ab3b0，即b0，将a2b代入(a-3b)xb-2a0，得-bx-3b0，x-3，故填x|x-3【点拨】一般地，一元一次不等式都可以化为axb(a0)的形式挖掘隐含条件ab0且-是解本题的关键解关于x的不等式：(m2-4)xm2.解：(1)当m2-40即m-2或m2时，当m-2时，原不等式的解集为，当m2时，原不等式的解集为R.(2)当m2-40，即m-2或m2时，x.(3)当m2-40，即-2m2时，x.类型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x2-7x120; (2)-x2-2x30；(3)x2-2x10; (4)x2-2x
6、20.解：(1)方程x2-7x120的解为x13，x24.而yx2-7x12的图象开口向上，可得原不等式x2-7x120的解集是x|x3或x4(2)不等式两边同乘以-1，原不等式可化为x22x-30.方程x22x-30的解为x1-3，x21.而yx22x-3的图象开口向上，可得原不等式-x2-2x30的解集是x|-3x1(3)方程x2-2x10有两个相同的解x1x21.而yx2-2x1的图象开口向上，可得原不等式x2-2x10的解集为.(4)因为0，所以方程x2-2x20无实数解，而yx2-2x2的图象开口向上，可得原不等式x2-2x20的解集为R.【点拨】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次
7、项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集容易出现的错误有：未将二次项系数化正，对应错标准形式；解方程出错；结果未按要求写成集合()关于x的不等式x2-(a1)xa0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是_解：原不等式可化为(x-1)(x-a)1时，得1xa，此时解集中的整数为2，3，4，则4a5；当a1时，得ax1，此时解集中的整数为-2，-1，0.则-3a0的解集为x|-1x2，则不等式2x2bxa0的解集为()A. B.Cx|-2x1 Dx|x1解：由题意知x-1，x2是方程ax2bx20的两根，且a0.由韦
8、达定理得所以不等式2x2bxa0，即2x2x-10；(2)若不等式f(x)b的解集为(-1，3)，求实数a，b的值解：(1)因为f(x)-3x2a(6-a)x6，所以f(1)-3a(6-a)6-a26a3，所以原不等式可化为a2-6a-30，解得3-2a32.所以原不等式的解集为a|3-2ab的解集为(-1，3)等价于方程-3x2a(6-a)x6-b0的两根为-1，3，等价于 解得类型四含有参数的一元二次不等式解关于x的不等式：mx2-(m1)x10.解：(1)当m0时，不等式为-(x-1)0，得x-10，不等式的解集为x|x1；(2)当m0时，不等式为m(x-1)0.当m0，不等式为(x-1
9、)0，因为1，所以不等式的解集为.当m0，不等式为(x-1)0.()若1，即m1时，不等式的解集为；()若1，即0m1时，不等式的解集为；()若1，即m1时，不等式的解集为.【点拨】当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m0与m0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m0与m0进行讨论；第三层次：与1大小的不确定性，对m1、m1与m1进行讨论解关于x的不等式ax2-22x-ax(aR)解：不等式整理为ax2(a-2)x-20，当a0时，解集为(-，-1当a0时，ax2(a-2)x-20的两根为-1，所以当a0
10、时，解集为(-，-1；当-2a0时，解集为；当a-2时，解集为x|x-1；当a-2时，解集为.类型五分式不等式的解法(1)不等式1的解集为_解：1 -10 0 0.解法一：0 得x|x-或x-2解法二：0 或 得x|x-或x-2故填x|x-或x-2(2)()已知两个集合Ax|yln(-x2x2)，B，则AB()A. B.C(-1，e) D(2，e)解：由题意得Ax|-x2x20x|-1x0)的最小值；()对于任意的x，不等式f(x)a恒成立，试求a的取值范围解：()依题意得yx-4.因为x0，所以x2.当且仅当x，即x1时，等号成立所以y-2.所以当x1时，y的最小值为-2.()因为f(x)-
11、ax2-2ax-1，所以要使得x，不等式f(x)a恒成立，只要x2-2ax-10在上恒成立即可不妨设g(x)x2-2ax-1，则 即 解得a.则a的取值范围为.(2)对于满足|a|2的所有实数a，使不等式x2ax12xa成立的x的取值范围为_解：原不等式转化为(x-1)ax2-2x10，设f(a)(x-1)ax2-2x1，则f(a)在上恒大于0，故有： 即 解得所以x-1或x3.故填(-，-1)(3，)类型七二次方程根的讨论若方程2ax2-x-10在(0，1)内有且仅有一解，则a的取值范围是()A(-，-1) B(1，)C(-1，1) D(2)由题意得20(10-x)(508x)10 260，
12、化简得8x2-30x130.解得x.所以x的取值范围是.1一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)(a0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式b2-4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数yax2bxc(a0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数yax2bxc的值恒大于0的条件是a0且0；若恒大于或等于0，则a0且0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形2解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组(注：形如0或0的不等式称为非严格分式不等式)3解含参
13、数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确4解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则5各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想6对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1不等式0的解集是()A(-，-1)(-1，2 BC(-，-1)解：00，且x-1，即x(-1，2，故选D.2()不等式f(x)ax2-x-c0的解集为x|-2x1，则函数yf(-x)的图象为()解：由题意得 解得则f(x)-x2-
14、x2，所以f(-x)-x2x2.故选C.3已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x，则f(10x)0的解集为()Ax|xlg2 Bx|-1x-lg2 Dx|x-lg2解：可设f(x)a(x1)(a0可得(10x1)0，从而10x，解得x-lg2，故选D.4()若不等式2kx2kx-0对一切实数x恒成立，则k的取值范围为()A(-3，0) B D(-3，0解：当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx-0对一切实数x恒成立，则 解得-3k0.综上，满足不等式2kx2kx-0在(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()A(-，-12) B(-4，)C(-12，) D(-，-4)解
15、：关于x的不等式2x2-8x-4-a0在(1，4)内有解，即a2x2-8x-4在(1，4)内有解，令f(x)2x2-8x-42(x-2)2-12，当x2时，f(x)取最小值f(2)-12；当x4时，f(4)2(4-2)2-12-4，所以在(1，4)上，-12f(x)-4.要使af(x)有解，则a-4.故选D.6若关于x的方程3x2-5xa0的一个根大于-2且小于0，另一个根大于1且小于3，则实数a的取值范围是()A(-，2) B(-12，)C(-22，0) D(-12，0)解：设f(x)3x2-5xa，则由题意有即 解得-12a0.故选D.7()不等式log23的解集为_解：log23log2
16、log280x68-6x2.当x0时，x2，此时x1；当x0时，x-2，此时x-6，解得-3-2x-32.故填(-3-2，-32)18()若关于x的不等式4x-2x1-a0在上恒成立，则实数a的取值范围是_解：因为不等式4x-2x1-a0在上恒成立，所以4x-2x1a在上恒成立令y4x-2x1(2x)2-22x1-1(2x-1)2-1.因为1x2，所以22x4.由二次函数的性质可知：当2x2，即x1时，y取得最小值0，所以实数a的取值范围为(-，0故填(-，09若关于x的不等式x2-ax-a-3的解集不是空集，求实数a的取值范围解法一：设f(x)x2-ax-a.则关于x的不等式x2-ax-a-
17、3的解集不是空集f(x)min-3，即f-3，解得a-6或a2.解法二：x2-ax-a-3的解集不是空集x2-ax-a30的判别式0，解得a-6或a2.10汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.问甲、乙两车
18、有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x0.01x212，即x210x-12000，解得x30或x-40(舍去)这表明甲车的车速超过30 km/h，又由甲车刹车距离略超12 m，可判断甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车有0.05x0.005x210，即x210x-20000，解得x40或x-50(舍去)这表明乙车超过40 km/h，超过规定限速 解关于x的不等式：1(a1)解：(x-2)0，当a1时有(x-2)0，若2，即0a1时，解集为x|2x；若2，即a0时，解集为；若2，即a0时，解集为x|x21已知-0时，x；当x0时，x-2.所以x的取值范围是x，故选D.2()若集
19、合Ax|ax2-ax10，则实数a的取值范围是()A(0，4) B D解：由题意知当a0时，满足条件当a0时，由 得0a4，所以实数a的取值范围是故选D.3()已知不等式mx2nx-0的解集为，则m-n()A. B- C. D-解：由已知可得方程mx2nx-0的两个根为-，2，且m0.所以 解得 所以m-n-.故选B.4在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()ABCD解：设矩形的另一边为y m，依题意得，即y40-x，所以x(40-x)300，解得10x30.故选C.5()若不等式x2-(a1)xa0的解集是
20、的子集，则a的取值范围是()A BC D解：原不等式等价于(x-a)(x-1)0，当a1时，不等式的解集为，此时只要a-4即可，即-4a1时，不等式的解集为，此时只要a3即可，即10的解集为(1，t)，记函数f(x)ax2(a-b)x-c.(1)求证：函数yf(x)必有两个不同的零点；(2)若函数yf(x)的两个零点分别为m，n，求|m-n|的取值范围解：(1)证明：由题意知a0，abc0，且-1，所以ca0，所以ac0，所以对于函数f(x)ax2(a-b)x-c有(a-b)24ac0，所以函数yf(x)必有两个不同零点(2)|m-n|2(mn)2-4mn84，由不等式ax2bxc0的解集为(1，t)可知，方程ax2bxc0的两个解分别为1和t(t1)，由根与系数的关系知t，所以|m-n|2t28t4，t(1，)所以|m-n|，所以|m-n|的取值范围为(，) ()设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)-x的两个零点为m，n(m0的解集；(2)若a0，且0xmn0，即a(x1)(x-2)0.那么当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2；当a0的解集为x|-1x0，且0xmn，所以x-m0.所以f(x)-m0，即f(x)m.