1、课时分层作业(七)(建议用时：40分钟)一、选择题1u(2，2,2)是平面的一个法向量，v(1,2,1)是平面的一个法向量，则下列命题正确的是()A，平行 B，垂直C，重合 D，不垂直Buv(2，2,2)(1,2,1)2122210，uv，平面平面.2已知直线l1的一个方向向量a(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b(2，y,2)，若|a|6，且l1l2，则xy的值是()A3或1 B3或1C3 D1A由条件可知|a|6，且ab44y2x0，解得或，xy1或3.3在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，则PA与底面ABCD的关系是()A相
2、交 B垂直C不垂直 D成60角B因为2(1)(1)2(4)(1)0，所以；因为A4(1)220(1)0，所以，又A，所以APABCD.4已知A(1,1,2)，B(1,0，1)，设D在直线AB上，且2，设C，若CDAB，则的值为()A B C DB设D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)，(2，1，3)，(1x，y，1z)，2，D，23(1)0，.5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面B建立以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z
3、轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则(1,0,1)，(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)，E，F，0，0，EFA1D，EFAC.二、填空题6已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为_或三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则(0，1,1)，(1,0,1)令平面ABC的法向量为n(x，y，z)，可得，即，xyz，平面ABC的法向量n(x，y，z)为单位法向量，x2y2z21，解得xyz，故平面ABC的单位法向量是或.7设平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,3,1)垂直，则平面与的位置关系是_
4、垂直由题意，ab(1,2，4)(2,3,1)2640，ab，根据平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,3,1)垂直，.故答案为垂直8已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则_.，0，352z0，z4.(x1，y，3)，且BP平面ABC，即解得故.三、解答题9.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：AM平面BDF.证明以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，F(，1)，M.所以，(0, ，1)，(，0)设n(x，y，z)是平面BDF的法向量
5、，则n，n，所以取y1，得x1，z.则n(1,1，)因为.所以n ，得n与共线所以AM平面BDF.10.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点求证：平面B1EF平面BDD1B1.证明以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，由题意，知D(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0,2，0)，B1(2，2，4)，E(2，0)，F(，2，0)，则(0，4)，(，0)设平面B1EF的法向量为n(x，y，z)则ny4z0，nxy0，得xy，zy，令y1，得n.又平面BDD1B1的一个法向量为(2，
6、2，0)，而n1(2)1200，即n，平面B1EF平面BDD1B1.11(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1，2，1)对于下列结论正确的有()AAPABBAPADC是平面ABCD的法向量DABC由于12(1)2(4)(1)0，4(1)220(1)0，所以A、B、C正确，又(2,3,4)(1,2，1)，不满足，D不正确，故选ABC.12.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是()A平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)B平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)C
7、平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)AC(0,1,0)，ABAD，AA1AD，又ABAA1A，AD平面ABB1A1，A正确；(1，0,0)，而(1,1,1)10，(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，B不正确；C中易证AC1面B1CD1且(1,1,1)，C正确，D中，因(1,0,0)，(0,1,1)0，又(0,1,1)，且(0,1,1)(0,1,1)0，D不正确13(一题两空)已知空间三点A(1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，3)，若直线AB上存在一点M，满足CMAB，则点M的坐标为_，若n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则x
8、yz_.443设M(x，y，z)，(1，1,0)，(x，y，z1)，(x1，y2，z3)，由题意，得，x，y，z1，点M的坐标为，又(2,1，4)nxy0且n2xy4z0，令x1，则y1，z，xyz11443.14.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE面B1DE，则AE_.a或2a建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D.设E(a,0，z)(0z3a)，则(a，a，z)，(a,0，z3a)，.又a2a200，2a2z23az0，解得za或2a.故AEa或
9、2a.15.如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在请说明理由解(1)证明：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)(0,3,4)，(8,0,0)，由此可得0，所以，所以APBC.(2)假设存在满足题意的点M，设，01，则(0，3，4)(4，2,4)(0，3，4)(4，23r,44)，(4,5,0)，(8,0,0)设平面BMC的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面APC的法向量为n2(x2，y2，z2)由得令y11可得n1.由可得令y24可得n2(5,4，3)由n1n20，得430，解得，故AM3.故存在点M符合题意，且AM3.