1、第7节二项分布与正态分布最新考纲核心素养考情聚焦1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布能解决一些简单的实际问题3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用1.条件概率的学习，达成逻辑推理和数学建模的素养2.相互独立事件同时发生的概率，增强逻辑推理和数学建模的素养3.独立重复试验与二项分布，提升数学建模、逻辑推理和数学运算的素养4.正态分布，达成逻辑推理和数学建模的素养新大纲中明确表示要加大对数学应用的考查，二项分布是考查的重点之一.2020年的高考预计考查：1.条件概率的计算2.事件独立性的应用3.独立重复试验与二项分布的计算题型以解答
2、题为主，难度不会太大，属于中档题型1条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0P(B|A)1；(2)若B、C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与、与B、与也都相互独立，P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A).3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i1,
3、2，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An).(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率4正态分布及特点(1)正态曲线的定义(2)正态曲线的特点曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图(1)所示；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总
4、体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图(2)所示1.A，B中至少有一个发生的事件为AB.2A，B都发生的事件为AB.3A，B都不发生的事件为 .4A，B恰有一个发生的事件为(A)(B)5A，B至多一个发生的事件为(A)(B)()思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)若条件A与B独立，则A与，与B，与也相互独立( )(2)相互独立事件就是互斥事件()(3)若事件A，B相互独立，则P(B|A)P(B)( )(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复
5、试验中事件A发生次数的概率分布( )(5)(课本改编)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.()(6)在正态密度曲线中，当一定时，越大，图象越低矮，越小，图象越瘦高( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A“第一次取到的是奇数”，B“第二次取到的是奇数”，则P(B|A)()A.B.C.D.解析：D由题意，P(AB)，P(A).P(B|A).故选D.2(2019汕头市一模)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣
6、获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为()A. B. C. D.解析：D根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是，故选D.3(人教A版教材P55T3改编)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()A0.2 B0.3 C0.38 D0.56解析：C设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB，P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.20.70.80.30.38
7、.4已知随机变量X服从正态分布N(3，2)，且P(X5)0.8，则P(1X3)_.解析：随机变量X服从正态分布N(3，2)，对称轴是x3.P(X5)0.8，P(X5)0.2，P(1X3)0.50.20.3.答案：0.35甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束)根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以41获胜的概率是_解析：甲队要以41，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：C0.60.40.52
8、0.60.62C0.50.50.60.18.答案：0.18考点一条件概率(自主练透)题组集训1某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是()A.B.C.D.解析：C设“某次射中”为事件A，“随后一次的射中”为事件B，则P(AB)0.4，P(A)0.7，P(B|A)，故选C.2(2018马鞍山三模)从集合UxZ|1x15中任取2个不同的元素，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A. B. C. D.解析：B集合U中共含有15个元素，其中有8个奇数，7个偶数P(A)，P(AB)P(B)，P(
9、B|A).故选B.3(2018赣州二模)如图，ABCD是以O为圆心、半径为2的圆的内接正方形，EFGH是正方形ABCD的内接正方形，且E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点将一枚针随机掷到圆O内，用M表示事件“针落在正方形ABCD内”，N表示事件“针落在正方形EFGH内”，则P(N|M)()A. B. C. D.解析：C由题意，正方形EFGH与正方形ABCD的边长比为，面积比为，P(N|M)，故选C.条件概率的求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A).这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下
10、求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).考点二相互独立事件同时发生的概率(子母变式)典例甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，且各自能否被选中互不影响(1)求3人同时被选中的概率；(2)求3人中至少有1人被选中的概率解析记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)，P(B)，P(C).(1)3人同时被选中的概率P1P(ABC)P(A)P(B)P(C).(2)3人中有2人被选中的概率P2P(ABACBC).3人中只有1人被选中的概率P3P(ABC).故3人中至少有1人被选中的概率为.跟踪训练(2019全国卷)11分制乒乓球比赛，每赢一
11、球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束(1)求P(X2)；(2)求事件“X4且甲获胜”的概率解：(1)X2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)X4且甲获胜，就是1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因
12、此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算，即正难则反的思想方法；(2)已知两个事件A、B相互独立，它们的概率分别为P(A)、P(B)，则有事件表示概率A、B恰有一个发生(A)(B)P(A)P()P()P(B)A、B中至少有一个发生(A)(B)(AB)P(A)P()P()P(B)P(A)P(B)A、B中至多有一个发生(A)(B)( )P(A)P()P()P(B)P()P()考点三独立重复试验与二项分布(师生共研)典例甲、乙、丙均两次
13、参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为、.甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为.(1)设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，分别求出事件A、事件B、事件C发生的概率；
14、(2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，求X的分布列与数学期望解析(1)甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为、.甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为.设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，事件A发生的概率P(A)，B为事件
15、“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，事件B发生的概率P(B)，C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，事件C发生的概率P(C).(2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，P(X0)P( )，P(X1)P( BCBA )，P(X2)P(BCACAB)，P(X3)P(ABC)，X的分布列为：X0123P数学期望E(X)01232.二项分布的期望与方差(1)如果B(n，p)，则用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(
16、ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同样还可求出D(ab)跟踪训练(2019宜昌市模拟)手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别(0,2 500)2 500,5 000)5 000,7 500)7 500,10 000)10 000，)男02472女13731(1)以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7 500步的有X名，求X的
17、分布列和数学期望；(2)如果某人一天的走路步数超过7 500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”根据题意完成下面的22列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型消极型总计男女总计附：K2.P(K2k0)0.100.050.0250.01k02.7063.8415.0246.635解：(1)在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7 500的概率为.X可能取值分别为0,1,2,3，P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C30，X的分布列为X0123P则E(X)0123.(2)完成22列联表如下：积极型消极
18、型总计男9615女41115总计131730K2的观测值k03.3943.841.据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关考点四正态分布(师生共研)典例(1)(2019南宁、柳州联考)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(1，)，N(2，)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是( )A甲类水果的平均质量为0.4 kgB甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D乙类水果的质量服从的正态分布的参数21.99(2)某校在一次月考中约有600人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布XN(90，a2)(a
19、0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有_人解析(1)由图象可知甲的正态曲线关于直线x0.4对称，乙的正态曲线关于直线x0.8对称，所以10.4，20.8，A项正确，C项正确由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，B项正确因为乙的正态曲线的最大值为1.99，即1.99，所以21.99，D项错误故选D.(2)因为成绩服从正态分布XN(90，a2)，所以其正态分布曲线关于直线x90对称，又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知成绩在110分以上的人数约为
20、总人数的，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有600120(人)答案(1)D(2)120(1)利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：P(Xa)1P(Xa)；P(X)P(X)跟踪训练(1)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(04)( )A0.6B0.4C0.3 D0.2(2)(2019广东茂名一模)设XN(1,1)，其正态分布密度曲
21、线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若XN(，2)，则P(X)68.26%，P(2X2)95.44%)A7 539 B6 038C7 028 D6 587解析：(1)由P(4)0.8，得P(4)0.2.又正态曲线关于x2对称则P(0)P(4)0.2，所以P(04)1P(0)P(4)0.6.故选A.(2)因为XN(1,1)，所以1，1，2.因为P(x)68.26%，所以P(0x2)68.26%，则P(0x1)34.13%，所以阴影部分的面积为0.658 7.所以正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数
22、的估计值为6 587，故选D.答案：(1)A(2)D1已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)()A0.6B0.4C0.3 D0.2解析：C画出正态分布曲线如图，结合图象知：P(4)1P(4)10.80.2，P(02)P(04)1P(4)(10.20.2)0.3.2(2019厦门市一模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()A.B.C.D.解析：D袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率p1，3次中恰有2次抽到黄球的概率是：PC2.故选D.3投篮测试中，每人投3次，至少投
23、中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432 C0.36 D0.312解析：A3次投篮投中2次的概率为P(k2)C0.62(10.6)，投中3次的概率为P(k3)0.63，所以通过测试的概率为P(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.故选A.4(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则P()A0.7 B0.6 C0.4 D0.3解析：BXB(10，p)，
24、所以10p(1p)2.4，且Cp4(1p)6Cp6(1p)4.即，p0.6.5(2019合肥市质检)某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为()A. B. C. D.解析：A记“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”为事件M，记“学生C第一个出场”为事件N.则P(M)，P(MN).那么“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为P(N|M).选A.6设随机变量XB(2，p)，随机变量YB(3，p)，若P(X1)，则P(Y1)_.解析：因为XB
25、(2，p)，所以P(X1)1P(X0)1C(1p)2，解得p.又YB(3，p)，所以P(Y1)1P(Y0)1C(1p)3.答案：7高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是_解析：设“甲、乙二人相邻”为事件A，“甲、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，由于P(B|A)，而P(A)，AB是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，故P(AB)，于是P(B|A).答案：8三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败
26、者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为_解析：设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为10.40.6；第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)P(A1A2A3A4)0.620.520.09.答案：0.099(2019合肥市第一次教学质量检测)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束若中奖，则通过抛
27、一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？解：(1)X的可能取值为0,500,1 000.P(X0)，P(X500)，P(X1 000)，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为X05001 000P(
28、2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)5001 000520，若选择方案乙进行抽奖，中奖次数B(3，)，则E()3，抽奖所获奖金X的期望E(X)E(400)400E()480，故选择方案甲较划算10(2018铜川市三模)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取16名，如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望解：(1)由茎叶图得到所有的数据从小到大排，8.6出现次数最多，众数：8.6；中位数：8.75；(2)设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P(A)P(A0)P(A1)(3)的可能取值为0、1、2、3.P(0)3；P(1)C2P(2)C2；P(3)3，的分布列为0123P所以E()01230.75.另解：的可能取值为0、1、2、3.则B，P(k)Ck3k.的分布列为0123P3C12C213所以E()30.75.