1、2.1.2两条直线平行和垂直的判定学 习 目 标核 心 素 养1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件2能根据已知条件判断两直线的平行与垂直3能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题.通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养.魔术师的地毯有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米，长21分米的矩形，地毯匠对魔术师说：这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(
2、2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧”地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米，长21分米魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了而地毯匠还在纳闷哩，这是什么回事呢？(1)(2)为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直1两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件12901290对应关系l1l2k1k2l1l2两直线斜率都不存在图示思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？提示不一定只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等2两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)k1k21l1的斜率不存在，l2的斜率
3、为0l1l21思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等()(2)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行()(3)只有斜率之积为1的两条直线才垂直()(4)若两条直线垂直，则斜率乘积为1()提示(1)(2)(3)(4)2已知A(2,0)，B(3,3)，直线lAB，则直线l的斜率k等于()A3B3CDBkAB3，lAB，kl3.3若直线l1，l2的方向向量分别为(1，3)和(1，k)，且l1l2，则k_.由于l1l2，则(1，3)(1，k)0，即13k0，k.4(教材P58T6(1)改编)l1的斜率为，l2经过点A(1,1)，B(0，m)，当l1l2时，m
4、的值为_由条件l1l2得1，解得m.两直线平行的判定及应用【例1】(1)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行l1经过点A(2,3)，B(4,0)，l2经过点M(3,1)，N(2,2)；l1的斜率为，l2经过点A(4,2)，B(2,3)；l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0,5)；l1经过点E(0,1)，F(2，1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)(2)试确定m的值，使过点A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点C(4,3)，D(0,5)的直线平行思路探究(1)先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断；(2)利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得解(1)kAB，kM
5、N1，kABkMN，所以l1与l2不平行l1的斜率k1，l2的斜率k2，k1k2，所以l1与l2平行或重合由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1l2.由题意，知kEF1，kGH1，kEFkGH，所以l1与l2平行或重合需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG1.所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合(2)由题意知CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在，kAB，kCD.由于ABCD，所以kABkCD，即.解得m2.经验证m2时，直线AB的斜率存在，故m的值为2.判断两条不重合直线是否平行的步骤跟进训练1已知ABCD的三个顶点
6、的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D的坐标解设D(m，n)，由题意，得ABDC，ADBC，则有kABkDC，kADkBC.所以解得所以顶点D的坐标为(3,4).两直线垂直的判定及应用【例2】(1)判断下列各题中l1与l2是否垂直l1经过点A(1，2)，B(1,2)；l2经过点M(2，1)，N(2,1)；l1的斜率为10；l2经过点A(10,2)，B(20,3)；l1经过点A(3,4)，B(3,10)；l2经过点M(10,40)，N(10，40)(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，如果l1l2，求a的值思路探
7、究(1)判断两直线垂直，当斜率存在时，利用k1k21，若有一条斜率不存在时，判断另一条斜率是否为0.(2)含字母的问题判断要分k存在和不存在两种情况来解题解(1)k12，k2，k1k21，l1与l2不垂直k110，k2，k1k21，l1l2.由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90，则l1x轴k20，则l2x轴，l1l2.(2)因为直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，所以l2的斜率存在，设为k2.当k20，即a23，亦即a5时，A(3,5)，B(3,3)，显然直线l1的斜率不存在，满足l1l2；当k20，即a23，亦即a5时，显然l1的斜率存在，设为k1，要满足题意，则k1k21，得1
8、，解得a2.综上可知，a的值为5或2.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式(3)三求：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论跟进训练2已知A(m3,2)，B(2m4,4)，C(m，m)，D(3,3m2)，若直线ABCD，求m的值解A，B两点纵坐标不相等，AB与x轴不平行ABCD，CD与x轴不垂直，m3，m3.当AB与x轴垂直时，m32m4，解得m1.当m1时C，D两点的纵坐
9、标均为1.CDx轴，此时ABCD，满足题意当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得kAB，kCD.ABCD，kABkCD1，即1，解得m1.综上，m的值为1或1.两直线平行与垂直的综合应用探究问题1两直线l1l2k1k2成立的前提条件是什么？提示(1)两条直线的斜率存在；(2)两直线不重合2对任意两条直线，如果l1l2，一定有k1k21吗？为什么？提示不一定当两条直线的斜率都存在时，k1k21，还有另一种情况就是，一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零【例3】ABC的顶点A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值思路探究由A为直角顶点可得kABkAC1
10、.解因为A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m7. 1变条件本例中，将“C(2，m)”改为“C(2,3)”，你能判断三角形的形状吗？解如图，AB边所在的直线的斜率kAB，BC边所在直线的斜率kBC2.由kABkBC1，得ABBC，即ABC90.ABC是以点B为直角顶点的直角三角形2变条件本例中若改为A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？解由于A为锐角，故B或C为直角若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，则1，得m3.若C为直角，则ACBC，所以kACkBC1，即1，得m2.综上可知，m3或m2.3变条件若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若ABC为直角三角形，如何
11、求解m的值？解若A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m7；若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，即1，得m3；若C为直角，则ACBC，所以kACkBC1，即1，得m2.综上可知，m7或m3或m2.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤1两直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合积为1垂直2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想1下列说法正确的是()A若直线l1与l2倾斜角相等，则l1l2B若直线l1l2，则k1k21C若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴D若两条直线的
12、斜率不相等，则两直线不平行D对A，两直线倾斜角相等，可能重合；对B，若l1l2，l1与l2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线斜率不存在，可能与y轴重合；对D，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行，综合可知D正确2若直线l1的斜率为a，l1l2，则直线l2的斜率为()A BaC D或不存在D由l1l2，当a0时，kl2，当a0时，l2的斜率不存在，故应选D.3若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直，则m的值是_由题意知，直线MN的斜率存在，因为MNl，所以kMN，解得m.4若两条直线l1，l2的方向向量分别为(1,2)和(1，k)，当l1l2时，k的值为_2l1l2时k1k2或斜率均不存在，由条件可知k2.5直线l1经过点A(m,1)，B(3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(1，m1)，当l1l2或l1l2时，分别求实数m的值解直线l1的方向向量为(3m,3)，直线l2的方向向量为(2,1)当l1l2时，得m3；当l1l2时，2(3m)30得m，故l1l2时m3，l1l2时m.