1、1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算 学 习 目 标核 心 素 养1.理解空间向量的概念(难点)2.掌握空间向量的线性运算(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用(重点、难点)1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1图2如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际
2、发生的位移是什么？又如何表示呢？1空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量(2)长度或模：空间向量的大小(3)表示方法：几何表示法：空间向量用有向线段表示；字母表示法：用字母a，b，c，表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或|.2几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：a的相反向量：相等向量相同相等ab3.空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法ab减法ab加法运算律交换律：abba结合律：(ab)ca(bc)(2)空间向量的数乘运算定义：实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为
3、向量的数乘运算当0时，a与向量a方向相同；当0时，a与向量a方向相反；当0时，a0；a的长度是a的长度的|倍运算律a结合律：(a)(a)()a.b分配律：()aaa，(ab)ab.思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？提示没有关系4.共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使ab.(4)如图，O是直线l上一点，
4、在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得a.5共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使px ay b.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使xy或对空间任意一点O，有xy.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足，则点P与点A，B，C是否共面？提示(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面
5、的两个向量，因此一定是共面向量(2)由得()()即，因此点P与点A，B，C共面1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间向量a，b，c，若ab，bc，则ac()(2)相等向量一定是共线向量()(3)三个空间向量一定是共面向量()(4)零向量没有方向()提示(1)若b0时，a与c不一定平行(2)相等向量一定共线，但共线不一定相等(3)空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的(4)零向量有方向，它的方向是任意的2如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有()A1个B2个 C3个 D4个D共四条AB，A1B1，CD，
6、C1D1.3点C在线段AB上，且|AB|5，|BC|3，则_.因为C在线段AB上，所以与方向相反，又因|AB|5，|BC|3，故.4在三棱锥ABCD中，若BCD是正三角形，E为其中心，则化简的结果为_0延长DE交边BC于点F，连接AF，则有，故0.空间向量的有关概念【例1】(1)给出下列命题：若|a|b|，则ab或ab；若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|；在正方体ABCDA1B1C1D1中，；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中正确命题的序号是_(2)如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有_；与向量相反的向量有_(要求写出所有适合条件的
7、向量)(1)(2)，(1)对于，向量a与b的方向不一定相同或相反，故错；对于，根据相反向量的定义知|a|b|，故正确；对于，根据相等向量的定义知，故正确；对于，根据相等向量的定义知正确(2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，.与向量相反的向量有，.解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向(2)注意点：注意一些特殊向量的特性零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方
8、向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.跟进训练1下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是()长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；平行且模相等的两个向量是相等向量；若ab，则|a|b|；两个向量相等，则它们的起点与终点相同A0B1C2D3B根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，不正确；当ab时，也有|a|b|，不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，不正确综上可知只有正确，故选B.空间向量的线性运算【例2】(1)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中
9、，下列各式中运算结果为向量的有()()；()；()；().A1个 B2个 C3个 D4个(2)已知正四棱锥PABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值yz；xy.思路探究(1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和如.(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解(1)D对于，()；对于，()；对于，()；对于，().(2)解如图，()，yz.O为AC的中点，Q为CD的中点，2，2，2，2，22，x2，y2.1空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向
10、量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果2利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质跟进训练2已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则等于()AB3 C3 D2B()23.共线问题【例3】(1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知e1ke2，5e14e2
11、，e12e2，且A，B，D三点共线，实数k_.(2)如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线思路探究(1)根据向量共线的充要条件求解(2)根据数乘向量及三角形法则，把表示成的形式，再根据向量共线的充要条件求解(1)1(e1ke2)(5e14e2)(e12e2)7e1(k6)e2.设，则7e1(k6)e2(e1ke2)，所以，解得k1.(2)解法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以.又因为，以上两式相加得2，所以，即与共线法二：因为四边形ABEF为平行四边形，所以连接AE时，A
12、E必过点N.222()2.所以，即与共线证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线(1)存在实数，使成立(2)对空间任一点O，有t(tR)(3)对空间任一点O，有xy(xy1)跟进训练3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线证明设a，b，c，因为2，所以，所以b，()()abc，所以abc.又bcaabc，所以，所以E，F，B三点共线.向量共面问题探究问题1什么样的向量算是共面向量？提示能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量2能说明P，A，B，C四点共面的结论有哪些？提示(1)存
13、在有序实数对(x，y)，使得xy.(2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得xyz(其中xyz1)(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如.3已知向量a，b，c不共面，且p3a2bc，mabc，nabc，试判断p，m，n是否共面提示设pxmyn，即3a2bcx(abc)y(abc)(xy)a(xy)b(xy)c.因为a，b，c不共面，所以而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面【例4】已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足.(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断M是否在平面ABC内思路探究(1)根据向量共
14、面的充要条件，即判断是否xy；(2)根据(1)的结论，也可以利用xyz中xyz是否等于1.解(1)3，()()，向量，共面(2)由(1)知向量，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，M，A，B，C共面，即M在平面ABC内1变条件若把本例中条件“”改为“263”，点P是否与点A、B、C共面解3323()(22)，32，即23.根据共面向量定理的推论知：点P与点A，B，C共面2变条件若把本例条件变成“4”，点P是否与点A、B、C共面解设xy(x，yR)，则xy4，x()y()4，(1xy4)(1x)(1y)0，由题意知，均为非零向量，所以x，y满足：显然此方程组无解，故点P与点A，B
15、，C不共面3变解法上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？解(1)由题意知，OC.1，点P与点A、B、C共面(2)4，而41121.点P与点A、B、C不共面解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有xy或xyz(xyz1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.1一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相
16、等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量2.xy称为空间平面ABC的向量表达式由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定3证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数，使(或)即可，也可用“对空间任意一点O，有t(1t)”来证明A，B，C三点共线4空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式这个充要条件常用于证明四点共面5直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反6向量p与向量a
17、，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立1下列条件中使M与A，B，C一定共面的是()A2BC0D0C由0得，故M，A，B，C共面2已知正方体ABCDA1B1C1D1，若点F是侧面CD1的中心，且mn，则m，n的值分别为()A，B，C，D，A由于()，所以m，n，故答案为A.3化简：(a2b3c)53(a2bc)_.abc原式abcabc3a6b3cabcabc.4给出下列四个命题：方向相反的两个向量是相反向量；若a，b满足|a|b|且a，b同向，则ab；不相等的两个空间向量的模必不相等；对于任何向量a，b，必有|ab|a|b|.其中正确命题的序号为_对于，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错；对于，向量是不能比较大小的，故不正确；对于，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错；只有正确5设两非零向量e1，e2不共线，且ke1e2与e1ke2共线，求k的值解两非零向量e1，e2不共线，且ke1e2与e1ke2共线，ke1e2t(e1ke2)，则(kt)e1(1tk)e20.非零向量e1，e2不共线，kt0,1kt0，解得k1.