1、第2节圆与方程【选题明细表】知识点、方法题号圆的方程1,2,4,9,12,15点与圆的位置关系5,13,14与圆有关的最值3,7,11与圆有关的轨迹问题6,8,10基础对点练(时间:30分钟)1.(2016北京卷)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为(C)(A)1(B)2(C)(D)2解析:因为圆(x+1)2+y2=2的圆心为(-1,0),所以圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为d=.故选C.2.(2016长沙一模)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为(C)(A)(x-1)2+y2=1(B)x2+(y+1)2=1(C)
2、x2+(y-1)2=1(D)(x+1)2+y2=1解析:圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,可得圆的圆心坐标(0,1),圆的方程为x2+(y-1)2=1,故选C.3.(2016河北邯郸校级月考)点M(3,4)到圆x2+y2=1上的点距离的最小值是(B)(A)1(B)4(C)5(D)6解析:圆x2+y2=1上的点到点M(3,4)的距离的最小值=|OM|-R=-1=4.故选B.4.(2016福州校级期中)若方程x2+y2+2x+2y+22-+1=0表示圆,则的取值范围是(A)(A)(1,+) (B),1(C)(1,+)(-,) (D)R解析:42+42-4(22-+1)0,解不
3、等式得1,即的取值范围是(1,+),故选A.5.已知点E(1,0)在圆x2+y2-4x+2y+5k=0的外部,则k的取值范围为(A)(A)(,1) (B)(,+)(C)(-,1)(D),1)解析:由方程表示圆知(-4)2+22-45k0,解得k0,解得k.故k的取值范围为(,1).6.(2016北京模拟)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是(D)(A)点 (B)直线 (C)线段 (D)圆解析:圆C的圆心为(a,b),因为圆C过点A(1,0),所以(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1,所以圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径
4、的圆.故选D.7.(2016广西钦州校级一模)若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为(B)(A) (B)5 (C)2 (D)10解析:由题知圆心(-2,-1)在直线l:ax+by+1=0上,则2a+b-1=0,则(a-2)2+(b-2)2表示点(2,2)与直线2a+b-1=0上的点的距离的平方,则其最小值为d2=()2=5,故选B.8.已知动点M(x,y)到点O(0,0)与点A(6,0)的距离之比为2,则动点M的轨迹所围成的区域的面积是.解析:依题意可知=2,即=2,化简整理得(x-8)2+y2=16,即动点M的轨
5、迹是以(8,0)为圆心,半径为4的圆.所以其面积为S=R2=16.答案:169.已知圆C的圆心在直线2x+y-1=0上,且经过原点和点(-1,-5),则圆C的方程为 .解析:由题意设圆的圆心 C(b,1-2b),再根据圆过原点和点(-1,-5),即b2+(1-2b)2=(b+1)2+(1-2b+5)2,解得b=2,可得圆心C(2,-3),半径为,则圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.答案:(x-2)2+(y+3)2=1310.已知线段AB的端点B(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,若点M满足=2,则点M的轨迹方程为.解析:设M(x,y),A(x0,y0),则=(x-x
6、0,y-y0),=(4-x,3-y),因为=2,所以所以代入圆(x+1)2+y2=4得(x-)2+(y-2)2=.答案:(x-)2+(y-2)2=能力提升练(时间:15分钟)11.导学号 49612212已知P(x,y)是圆x2+(y-3)2=a2(a0)上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),PAB的面积最大值为8,则a的值为(A)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:要使PAB的面积最大,只要点P到直线AB的距离最大.由于AB的方程为y=0,圆心(0,3)到直线AB的距离为d=3,故P到直线AB的距离最大值为3+a.再根据AB=4,可得PAB面积的最大值为AB(3+a)=2(3+a)=
7、8,所以a=1,故选A.12.(2016海南海口校级模拟)过三点A(3,2),B(4,5),C(1,6)的圆,则圆的面积为(B)(A)10 (B)5 (C) (D)解析:因为A(3,2),B(4,5),C(1,6),所以|AB|=,|AC|=,|BC|=,因为|AB|2+|BC|2=|AC|2,所以B=90,故|AC|为过A,B,C的圆的直径,则圆的面积S=()2=5,故选B.13.(2016广东佛山模拟)如果直线2ax-by+14=0(a0,b0)和函数f(x)=mx+1+1(m0,m1)的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆(x-a+1)2+(y+b-2)2=25的内部或圆上,那么的取值
8、范围是 .解析:函数f(x)=mx+1+1的图象恒过点(-1,2),代入直线2ax-by+14=0,即a+b=7.因为定点在圆的内部或圆上,所以a2+b225,设=t,则b=at,代入a+b=7,所以a=,代入a2+b225可得(1+t2)()225,所以12t2-25t+120,所以t.答案:,14.若点P(1,1)在圆C:x2+y2-2ax+a2-a=0外,则实数a的取值范围为 .解析:由方程表示圆得(-2a)2-4(a2-a)0,即a0,由点在圆外得12+12-2a1+a2-a0,整理得a2-3a+20,解得a2.综上,a的取值范围为(0,1)(2,+).答案:(0,1)(2,+)15.
9、已知曲线C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k-1,则C过定点 .解析:将x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0整理为k(2x+4y+10)+(x2+y2+10y+20)=0,所以解得曲线C过定点(1,-3).答案:(1,-3)好题天天练1.(2016湖北随州期末)直线l:ax+by=0和圆C:x2+y2+ax+by=0在同一坐标系的图形只能是(D)解题关键:寻求直线与圆的位置关系.解析:圆C的圆心坐标为-,-,半径为,圆心到直线的距离为d=,所以直线与圆相切,故选D.2.已知点A(-1,0),B(0,2),点P在圆(x-1)2+y2=1上,则PAB面积的最小值为.解题关键:关键求出P到直线AB距离的最小值.解析:|AB|=.直线AB的方程为+=1,即2x-y+2=0.所以圆心C(1,0)到直线AB的距离d=.所以P到直线AB的距离的最小值为d-r=-1.故PAB面积的最小值为|AB|(d-r)=-1=2-.答案:2-
