1、第四节 直线、平面平行的判定及其性质 1.直线与平面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 平面外一条直线与_的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行)_,_,_,l 此平面内 la a l 文字语言 图形语言 符号语言 性 质 定 理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的_与该直线平行(线面平行线线平行)_,_,_,lb 交线l l =b 2.平面与平面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面内的两条_与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行面面平行)_,_,_,_,_,相交直线 a b ab=P a b 文字语言 图形
2、语言 符号语言 性 质 定 理 如果两个平行平面同时和第三个平面_，那么它们的_平行 _,_,_,ab 相交 交线 =a =b 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这 两个平面平行.()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直 线平行或异面.()(3)若直线a与平面 内无数条直线平行，则a.()(4)若直线a平面，P,则过点P且平行于直线a的直线 有无数条.()(5)若平面 平面，直线a平面，则直线a平面.()【解析】(1)错误.当这两条直线为相交直线时，才能保证这两个平面平行.(2)正确.如果两个平面平行，则在这两
3、个平面内的直线没有公共点，则它们平行或异面.(3)错误.若直线a与平面内无数条直线平行，则a或a.(4)错误.有且只有一条直线，且该直线为过直线a和点P的平面与平面的交线.(5)错误.若平面平面，直线a平面，则a或a.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1.下列命题中，正确的是()(A)若ab,b,则a (B)若a,b,则ab(C)若a,b,则ab(D)若ab,b,a,则a【解析】选D.由直线与平面平行的判定定理知选项D正确.2.已知直线l,m，平面，下列条件能得出 的是()(A)l,m,且l,m (B)l,m,且lm(C)l,m,且lm(D)l,m,且lm【解析】选C.如图，在正方体AC1中
4、，AA1平面ABCD，BB1平面A1B1C1D1 且AA1BB1，则平面ABCD平面A1B1C1D1，故选C.3.直线a不平行于平面，则下列结论成立的是()(A)内的所有直线都与a异面(B)内不存在与a平行的直线(C)内的直线都与a相交(D)直线a与平面 有公共点【解析】选D.因为直线a不平行于平面，则直线a与平面相交或直线a在平面内，所以选项A，B，C均不正确.故选D.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是_(只填序号).AD1BC1；平面AB1D1平面BDC1；AD1DC1；AD1平面BDC1.【解析】借助图形可知AD1与DC1所在的直线为异面直线，故错误.答案
5、:考向1 线面平行的判定与性质【典例1】(1)若一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线的位置关系是_.(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN 求证：MN平面AA1B1B【思路点拨】(1)把文字叙述转化为符号叙述，然后利用线面平行的性质，将线面平行转化为线线平行.(2)“线线平行”“线面平行”“面面平行”是可以互相转化的，本题可以将问题转化为“证明MN与平面AA1B1B内的某一条直线平行”来解决，也可转化为“证明MN所在的平面与平面AA1B1B平行”来解决【规范解答】(1)已知a，a，=l，设过a的平面=m,a，am.设过a的
6、平面=n,a,an,mn.n,m,m.又m,=l,ml.al.答案:平行 (2)方法一：如图所示，作MEBC交BB1于E；作NFAD交AB于F，连接EF，则 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CM=DN，BD=B1C，B1M=BN.又BD=B1C，11MEB M NFBN.BCB C ADBD，MEBNNF.BCBDAD又BC=AD，ME=NF.又MEBCADNF，四边形MEFN为平行四边形，MNEF.又EF平面AA1B1B，MN平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.方法二：过M作MQBB1交BC于Q，连接NQ MQ平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，MQ平面AA1B1B 由MQB
7、B1得 又CM=DN，CB1=DB，NQDC，NQAB.1CMCQCBCB1CMCQDNCBCBDB，NQ平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，NQ平面AA1B1B 又MQNQ=Q，平面MQN平面AA1B1B.又MN平面MQN，MN平面AA1B1B【互动探究】若将本例题(2)中的条件“CM=DN”改为“”，则如何证明？【解析】将 转化为CM=DN.以下同例题.1CMDNMBNB1CMDNMBNB【拓展提升】1.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba).(3)利用面面平行的性质(,aa).(4)利用面面平行的性质(,a,a
8、,aa).(5)利用空间向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.2.判断或证明两直线平行的常用方法(1)利用公理4(ab,bcac).(2)利用线面平行的性质定理(a,a,=bab).(3)利用面面平行的性质定理(,=a,=bab).(4)利用线面垂直的性质定理(a,bab).(5)利用向量共线证明.【提醒】利用线面平行的性质或判定定理时，适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法.【变式备选】(1)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH.【证明】如图，连接AC交BD于点O，连接MO，四边
9、形ABCD是平行四边形，O是AC的中点.又M是PC的中点，APOM.又AP平面BDM，AP平面BDM.平面PAHG平面BDM=GH，PAGH.(2)如图，在四棱锥P-ABCD中，CDAB，DC=AB，试在 线段PB上找一点M，使CM平面PAD，并说明理由.【解析】当M为PB的中点时，CM平面PAD.方法一：取AP的中点F，连接CM，FM，DF.则FMAB，FM=AB.CDAB，CD=AB,FMCD，FM=CD，四边形CDFM为平行四边形，CMDF.DF平面PAD，CM平面PAD，CM平面PAD.121212方法二：在四边形ABCD中，设BC的延长线与AD的延长线交于点Q，连接PQ，CM.CDA
10、B，QCD=QBA.CQD=BQA，CQDBQA，C为BQ的中点.M为BP的中点，CMPQ.PQ平面PAD，CM平面PAD，CM平面PAD.12QCCDQBAB方法三：取AB的中点E，连接EM，CE，CM.在四边形ABCD中，CDAB，CD=AB，E为AB的中点，AEDC，且AE=DC，四边形AECD为平行四边形.CEDA.DA平面PAD，CE平面PAD，CE平面PAD.12同理，根据E，M分别为BA，BP的中点，得EM平面PAD.CE平面CEM，EM平面CEM，CEEM=E，平面CEM平面PAD.CM平面CEM，CM平面PAD.考向2 面面平行的判定与性质【典例2】(1)(2013揭阳模拟)
11、如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是 棱CC1，C1D1,D1D,DC的中点，N是BC的 中点，点M在四边形EFGH及其内部 运动，则当点M满足_条件时，有MN平面B1BDD1.(2)(2013潮州模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：B，C，H，G四点共面.平面EFA1平面BCHG.【思路点拨】(1)利用面面平行的判定及性质定理解题.(2)要证明B，C，H，G四点共面，可证明直线GH与直线BC共面.可利用面面平行的判定定理证明.【规范解答】(1)连接FH,FN.因为F，H分别为D1C1,DC
12、的中点，所以FHD1D.又FH平面B1BDD1,D1D平面B1BDD1,所以 FH平面B1BDD1;同理HN平面B1BDD1.又FHHN=H，所以平面FHN平面B1BDD1.故当点M在FH上运动时，有MN平面B1BDD1.答案:MFH (2)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面.E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEF=E，平面
13、EFA1平面BCHG.【互动探究】在本例(2)条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.【证明】如图所示，连接A1C交AC1于点H，四边形A1ACC1是平行四边形，H是A1C的中点，连接HD，D为BC的中点，A1BHD.A1B平面A1BD1，DH平面A1BD1，DH平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1 BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DH=D，平面A1BD1平面AC1D.【拓展提升】1.判定面面平行的四个方法(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点.(2
14、)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行 2.面面平行的性质(1)两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面.(2)若一平面与两平行平面相交，则交线平行.【变式备选】如图，在四棱锥P-ABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2.(1)证明：直线CE平面PAB.(2)求三棱锥E-PAC的体积.【解析】(1)取AD中点F，连接EF,CF，在PAD中，EF是中位线，可得EFPA.EF平面PAB，PA平面PAB，EF平面PAB.RtA
15、BC中，AB=1，BAC=60，AC=2.又RtACD中，CAD=60，AD=4，结合F为AD中点，得ACF是等边三角形，ACF=BAC=60,可得CFAB.CF平面PAB，AB平面PAB，CF平面PAB.EF,CF是平面CEF内的相交直线，平面CEF平面PAB.CE平面CEF，CE平面PAB.ABcos 60(2)PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又ACCD，PA,AC是平面PAC内的相交直线，CD平面PAC.CD平面DPC，平面DPC平面PAC.过E点作EHPC于H，由面面垂直的性质定理，得 EH平面PAC，EHCD.RtACD中，AC=2，AD=4，ACD=90，CD=E是P
16、D的中点，EHCD，EH=CD=PAAC，SRtPAC=22=2，因此，三棱锥E-PAC的体积V=SPACEH=22ADAC2 3.123.12132 3.3考向3 平行关系的综合应用【典例3】如图所示，平面 平面，点A，点C，点B,点D，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEB=CFFD.(1)求证：EF平面.(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长.【思路点拨】(1)要证EF平面，可转化为证明EF与平面内的某一直线平行或证明EF所在的平面与平面平行.(2)以EF为边构造三角形可求得EF的长.【规范解答】(1)当AB，CD在同一平面内
17、时，由平面平面，平面平面ABDC=AC，平面平面ABDC=BD，ACBD.AEEB=CFFD，EFBD.又EF平面,BD平面,EF平面.当AB与CD异面时，设平面ACD平面=DH，且DH=AC.平面平面,平面平面ACDH=AC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G，使AGGH=CFFD，得GFHD.又AEEB=CFFD=AGGH，EGBH.又EGGF=G，平面EFG平面.又EF平面EFG，EF平面.综上，EF平面.(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.E，F分别为AB，CD的中点，MEBD，MFAC，且ME=BD=3，MF=AC=2，EMF为AC与BD所成
18、的角(或其补角)，EMF=60或120.在EFM中由余弦定理得 即EF=或EF=121222EFMEMF2ME MF cos EMF221322 3 2136,2 719.【拓展提升】三种平行关系的转化方向及注意事项(1)转化方向 如图所示：(2)注意事项 在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行.【变式训练】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在
19、什么位置时，平面D1BQ平面PAO？【解析】当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.证明如下：Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA.P，O分别为DD1，DB的中点，D1BPO.又D1B平面PAO，PO平面PAO，QB平面PAO，PA平面PAO，D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQB=B，D1B，QB平面D1BQ，平面D1BQ平面PAO.【满分指导】平行关系证明题的规范解答【典例】(12分)(2012山东高考)如图，几何体E-ABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CB=CD，ECBD.(1)求证：BE=DE.(2)若BCD=120，M为线段AE的 中点，求证：DM平面BEC.
20、【思路点拨】已 知 条 件 条 件 分 析 ABD为正三角形 三角形三个内角相等，三边相等 CB=CD CBD为等腰三角形，若O为DB的中点，则COBD ECBD 证明线面垂直 M为AE的中点 可构造三角形的中位线【规范解答】(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB=CD，所以COBD.1分 又ECBD，ECCO=C，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，所以BDOE.3分 又O为BD的中点，所以BE=DE.5分(2)方法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MNBE.6分 又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC.7分 又因为ABD为正三角形
21、,所以BDN=30.又CB=CD，BCD=120，因此CBD=30，所以DNBC.9分 又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC.又MNDN=N，故平面DMN平面BEC.11分 又DM平面DMN，所以DM平面BEC.12分 方法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB=CD，BCD=120，所以CBD=30.7分 因为ABD为正三角形，所以BAD=ABD=60，ABC=90，所以AFB=30，所以AB=AF.9分 12又AB=AD，所以D为线段AF的中点.10分 连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DMEF.11分 又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM平面BEC.12
22、分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2012四川高考)下列命题正确的是()(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】选C.利用线面位置关系的判定和性质解答.A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，ABC的三个顶点中，A，B在的同侧，而点C在的另一侧，且AB平行于，此时可有A，B，C三点到平面距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面
23、垂直，但这两个面相交.2.(2013佛山模拟)已知直线m,n和平面，则mn的一个必要不充分条件是()(A)m，n (B)m，n (C)m，n (D)m,n与 成等角【解析】选D.对于A，m，n为mn的既不充分也不必要条件；对于B,m，n为mn的充分不必要条件；对于C,m,n为mn的既不充分也不必要条件；对于D，m,n与成等角为mn的必要不充分条件，故选D.3.(2013深圳模拟)在空间中，有如下命题：互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；若平面 平面，则平面 内任意一条直线m平面；若平面 与平面 的交线为m，平面 内的直线l平行平面，则直线l m;若平面 内的三点A，
24、B，C到平面 的距离相等，则 .其中正确命题的个数为_.【解析】中，互相平行的两条直线的射影可能重合，错误；正确；由线面平行的性质定理知正确；中，若平面内的三点A，B，C在一条直线上，则平面与平面可以相交，错误.答案:2 4.(2012辽宁高考)如图，直三棱柱ABC-ABC，BAC=90，AB=AC=，AA=1，点M，N分别为AB和BC的中点.(1)证明：MN平面AACC.(2)求三棱锥A-MNC的体积(锥体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高).132【解析】(1)方法一：连接AB，AC，由已知BAC=90，AB=AC，三棱柱ABC-ABC为直三棱柱，所以M为AB中点.又因为N为BC的
25、中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.方法二：取AB中点P，连接MP，NP，而M，N分别为AB与BC的中点，所以MPBBAA，PNAC，MP，PN平面AACC，AA，AC 平面AACC，所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNP=P，因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，因此MN平面AACC.(2)连接BN，由题意ANBC，平面ABC平面 BBCC=BC，所以AN平面NBC.又AN=BC=，方法一：VA-MNC=VN-AMC=VN-ABC=VA-NBC=.方法二：VA-MNC=VA-NBC-VM-NBC=VA-NBC=.12221(2)
26、(2)1212121216161.设，为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“=m,n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.,n;m,n;n,m.可以填入的条件有()(A)或(B)或(C)或(D)或或【解析】选C.由面面平行的性质定理可知，正确；当n,m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确.2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()(A)不存在(B)有1条(C)有2条(D)有无数条【解析】选D.平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行，故选D.