1、上海市金山中学2019-2020学年高二数学上学期9月月考试题（含解析）一、填空题（第1-6每题4分；第7-12每题5分）1.与同向的单位向量为_.【答案】【解析】【分析】先由题意设，根据模为，即可求出结果.【详解】因为与同向，所以设，又为单位向量，所以，解得，因此.故答案为：【点睛】本题主要考查求向量的坐标，熟记向量模的计算公式，以及向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.2.已知向量，若，则_【答案】【解析】试题分析：由于，所以，解得考点：向量共线坐标表示的应用3.已知，则_.【答案】【解析】【分析】先分别化简集合与集合，再求交集，即可得出结果.【详解】因为，因此.故答案为：【点睛】本题主要
2、考查集合的交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.4.若向量、的夹角为，则_.【答案】2【解析】【分析】根据向量的模的计算公式，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为向量、的夹角为，所以，因此，.故答案为：【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量的模的计算公式即可，属于基础题型.5.已知点和向量，若，则点的坐标为_【答案】【解析】试题分析：设点，因此，得，得点考点：平面向量的坐标表示6.向量若向量，则实数的值是_【答案】-3【解析】【详解】试题分析：，又，考点：本题考查了向量的坐标运算点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题7.在中，则_.【答案】【解析】【分析】先由题
3、意，得到，再由，结合题中数据，即可求出结果.【详解】因为在中，所以，因此.故答案为：【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记数量积的运算法则即可，属于常考题型.8.平面上不共线的四点、满足，则_.【答案】4【解析】【分析】先由题中条件，得到，推出，从而可得出结果.【详解】因为，所以，即，因此【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量线性运算法则即可，属于基础题型.9.平行四边形中，为一条对角线，若，则_.【答案】8【解析】【分析】先由题意，得到，求出两向量的坐标，即可得出结果.【详解】因为平行四边形中，为一条对角线，所以，又，因此，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量数量积坐标运
4、算，熟记平面向量的数量积运算，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.10.若正方形边长为，点在线段上运动，则取值范围是_.【答案】【解析】【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设出点坐标，代入所求表达式，化简后求得表达式的取值范围.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，依题意设，而，所以，函数对称轴，开口向下，故时有最小值；时，有最大值.故取值范围为.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.11.已知函数，且与互为反函数，则_.【答案】【解析】【分析】先由与互为反函数，得到，进而可求出结果.【详解】因为与互为反函数，所以；又，所以.故答
5、案为：【点睛】本题主要考查由两函数互为反函数求解析式的问题，熟记反函数的概念即可，属于常考题型.12.已知函数在定义域内恒正，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据题意，分别讨论分子分母对应的方程是同解方程，分子分母对应的方程不是同解方程两种情况，根据二次函数性质，列出不等式的，求解，即可得出结果.【详解】因为所给的函数分子与分母都是二次三项式，对应的函数图像都是开口向上的抛物线；若分子分母对应的方程是同解方程，则有，即；若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证函数在定义域内恒正，则需要分子分母的判别式都小于；即，解得，即；当，由得，函数定义域为，则可化为，即，显然在定义域内恒成立
6、；所以满足题意；综上，实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间的关系即可，属于常考题型.二、选择题（每题5分）13.平面向量，共线的充要条件是（ ）A. ，方向相同B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数私，【答案】D【解析】【分析】根据向量共线定理，即非零向量与向量共线的充要条件是必存在唯一实数，使得成立，即可得到答案.【详解】若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数，使得；若，则由两向量共线知，存在，使得，即，符合题意，故选D.【点睛】该题考查的是有关向量共线的充要条件，在解题的过程中，需要明确向量共线
7、包括方向相同与方向相反，不一定非得有零向量，再者要注意零向量与任何向量是共线的，要理解向量共线的充要条件，即可得到结果.14.设，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则实数，满足的关系式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意得到，根据向量数量积，分别求出与在方向上的投影，进而可求出结果.【详解】因为，为坐标平面上三点，为坐标原点，所以，因此在方向上的投影为；在方向上的投影为，又与在方向上的投影相同，所以，即.故选：A【点睛】本题主要考查求向量的投影，熟记向量数量积的定义与几何意义即可，属于常考题型.15.已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范
8、围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据方程有实根得到，利用向量模长关系可求得，根据向量夹角所处的范围可求得结果.【详解】关于的方程有实根 设与的夹角为，则又 又 本题正确选项：【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.16.已知数列，对于任意正整数，设表示数列的前项和.下列关于的结论，正确的是（ ）A. B. C. D. 以上结论都不对【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合等比数列的求和公式，先得到当时，再由极限的运算法则，即可得出结果.【详解】因为数列，对于任意的正整数，表示数列的前项和
9、，所以， ，所以当时，因此.故选：B【点睛】本题主要考查数列的极限，熟记等比数列的求和公式，以及极限的运算法则即可，属于常考题型.三、解答题：17.如果由矩阵表示的关于，的二元一次方程组无解，求实数的值.【答案】【解析】【分析】先由题意，得到，对满足的进行讨论，即可得出结果.【详解】由题意可得：方程组为，当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解.所以.【点睛】本题主要考查矩阵与二元一次方程组，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.18.在中，边、分别为角、所对应的边.（1）若，求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）先根据行列式定义得，再根据正
10、弦定理化角为边得，最后根据余弦定理求角的大小；（2）先根据正弦定理求a，再根据两角和正弦公式求，最后根据三角形面积公式求面积.试题解析：（1）由题意，； 由正弦定理得， ，；（2）由，且，； 由，,； .19.已知，.（1）当时，求方程的解集；（2）若方程有且只有一个实数解，求实数的值并解该方程.【答案】（1）（2）当，或时，解都为-1【解析】【分析】先由题意计算行列式，得到，（1）由，将方程化为，求解，即可得出结果；（2）根据题意，得方程有且只有一个实数解，分别讨论与两种情况，即可得出结果.【详解】因为，（1）当时，方程可化为，解得，所以方程的解集为；（2）由题意可得，方程有且只有一个实数解
11、，当，即时，方程可化为，解得；当，即时，只需，即，解得，此时方程为：，即，解得；综上，当或时，方程的解都是.【点睛】本题主要考查求方程的解，以及由方程根的个数求参数，熟记一元二次方程的解法，以及行列式的计算方法即可，属于常考题型.20.某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为.（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？（2）假设货主每月还商店元，写出在第个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.（3）每月的还款额为多少元（精确到0.01元）？【答案】
12、（1）4020元；（2）表达式为元；（3）元【解析】【分析】（1）因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即元，又按月利率，即可求出结果；（2）设第个月底还款后的欠款数为，根据题意，进而得出，整理，即可得出结果；（3）由题意得到，由（2）的结果，即可求出结果.【详解】（1）因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即，又按月利率，到第一个月底的欠款数应为元，即到第一个月底，欠款余额为元；（2）设第个月底还款后的欠款数为，则有，整理得：；（3）由题意可得：，所以，因此【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的求和公式，即可求解，属于常考题型.21.在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数，对平面上任一点，记
13、为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点.（1）求向量的坐标；（2）当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图像，其中是以3为周期的周期函数，且当时，.求以曲线为图像的函数在上的解析式；（3）对任意偶数，用表示向量的坐标.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先设点，由题意求出，进而得到，从而可求出向量；（2）先由题意，得到是由曲线按向量平移得到的；根据图像变换，以及函数周期，即可得出结果；（3）先由为关于点的对称点，为关于点的对称点，得到，再由向量的运算法则，结合向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）设点，因为为关于点的对称点，所以，又为关于点的对称点，所以，即，因此；（2）由（1），因为点在曲线上移动时，点轨迹是函数的图像，所以的图像由曲线向右平移个单位，再向上平移个单位得到，因此，设曲线是函数的图像，因为是以3为周期的周期函数，所以也是以为周期周期函数，当时，所以当时，；于是，当时，；（3）由题意，为关于点的对称点，为关于点的对称点.所以在中，为的中点，为的中点，所以，因此，.【点睛】本题主要考查平面向量的综合，熟记平面向量基本定理、向量的线性运算、向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.