1、三、函数的基本性质(一)函数的单调性1、单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，如下图(1)所示。来源: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。拓展与提示：(1)定义中的x1,x2具有任意性，不能用特殊值代替。(2)若f(x)在区间D
2、1，D2上都是增(减)函数，但f(x)在D1D2上不一定是增(减)函数。(3)由于定义域都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。2、函数单调性的判断方法(1)定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为第一步：取值。设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x10，则f(x)在(a,b)上递增；若当x(a,b)时，f(x)0，则f(x)在(a,b)上递减。拓展与提示：定义有如下等价形式设x1,x2a,b，那么上是增函数，上是减函数；在a,b上是增函数，上是减函数。例 讨论函数在(-2，+)上的单调性。解析 设-2x1x2
3、，则f(x2)-f(x1)=.=.又-2x10，即时，上式0，即f(x2)f(x1)；当1-2a0，即f(x2)f(x1)。当时，在(-2，+)上为减函数当时，在(-2，+)上为增函数3、复合函数的单调性对于复合函数y=fg(x)，若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数，则y=f(t)在区间(g(a),g(b)或(g(b),g(a)上是单调函数；若t=g(x)与y=f(t)单调性相同(同时为增或减)，则y=fg(x)为增函数，若t=g(x)与g=f(x)单调性相反，则y=fg(x)为减函数，简单地说成“同增异减”。y=f(t)增减增减t=g(x)增减减增Y=fg(x)增增减减(二)函数的最
4、大(小)值1、定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。同样地：如果存在实数M满足：(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)=M.那么我们称M是函数的最小值。拓展与提示：(1)函数的最大(小)值是函数的图象的最高点(最低点)对应的纵坐标。(2)一个连续不断的函数在闭区间a,b上一定有最大值和最小值。(3)求函数最值的常见方法为构造二次函数；单调性法；导数法。2、二次函数在闭区间上的最值二次函数f(x)=ax2+bx+c，当a0时，
5、在闭区间m,n上的最值可分如下讨论：来源:若时，则最大值为f(n)，最小值为f(m)；若时，则最大值为f(m)，最小值为f(n)；来源: 若时，则最大值为f(m)或f(n)，最小值为.例 已知，若f(x)=ax2-2x+1，在1，3上最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的函数表达式。解析 .，.又1，3.当，f(x)min=N(a)=当，即时，f(x)max=M(a)=f(3)=9a-5.当时，f(x)max=M(a)=f(1)=a-1(三)函数的奇偶性1、定义偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数
6、f(x)就叫做偶函数。奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。拓展与提示：并不是所有的函数都具备奇偶性，这些既不是奇函数又不偶函数的函数称为非奇非偶函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一个，就是f(x)=0。判断函数奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称，否则称为非奇非偶函数。2、函数奇偶性的性质(1)若函数f(x)是偶函数，那么：对任意定义域的x,都有f(-x)=f(x)；函数f(x)的图象关于y轴对称；函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的。(2)若函数f(x)是奇函数，那么：对任意定义域内的x，都有f(-x
7、)=-f(x)；函数f(x)的图象关于坐标原点对称；函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相同的。3、函数奇偶性的判定方法(1)定义法f(x)是奇函数f(x)是偶函数(2)利用图象的对称性f(x)是奇函数的图象关于原点对称。f(x)是偶函数的图象关于y轴对称。例 设函数f(x)对任意x、yR，都有f (x+y) =f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2。(1)求证：f(x)为奇函数(2)试问在-3x3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。解析 (1)f(x)对于任意x、yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0再令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，f(x)为奇函数。(2)设x10时，f(x)0，f(x2-x1)0，即f(x2)-f(x1)0来源: f(x2)f(x1)，f(x)在R上为减函数f(x2)在-3，3上，当x=-3时，f(x)取最大值，即f(x)max=f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6；当x=3时，f(x)取最小值，即f(x)min=f(3)=-6.