1、2023-2024学年第一学期高一年级10月学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合且，则等于（ ）A. 1B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设，则（ ）A. B. C. 1D. 5. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学
2、界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远已知为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 已知函数，任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，又，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 8. 已知集合，若，且同时满足：若，则；若，则.则集合的个数为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 20二多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列各组函数是同一组函数是（ ）A. B. C. D. 10. 下列等
3、式中正确的是（ ）A. B. C D. 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）A 有最小值8B. 有最小值C. 的最小值是4D. 的最小值是12. 已知函数，下列说法正确的是（ ）A. 存在实数，使得为偶函数；B. 存在实数，使得为奇函数；C. 任意，存在实数，使得；D. 若在区间上单调递减，的最大值为.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知“，使得”是假命题，则实数的取值范围为_.14. 若函数，且，则实数的值为_.15. 函数的值域为_.16. 设集合，则实数的取值范围是_.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明证明过程或演算步骤.17. 已
4、知集合，实数集为全集.（1）求，；（2）若是的必要条件，求的取值范围.18. （1）求值：；（2）已知，求的值.19 已知二次函数满足：.（1）求解析式；（2）判定函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明.20. 某工厂生产某种元器件，受技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：（注：次品率=次品数/生产量），已知每生产1件合格的元件可以盈利2a元，但每生产1件次品将亏损a元.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额S（万元）表示为日产量（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？21. 已知函数.（1）若，判定函数的奇偶性；（2）若，
5、是否存在实数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求的取值范围；否则说明理由.22. 定义：对于函数，当时，的取值集合为，则称区间为函数的一个“倒值映射区间”.已知一个定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）求函数在内的“倒值映射区间”；（3）求函数在定义域内的所有“倒值映射区间”.2023-2024学年第一学期高一年级10月学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合且，则等于（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由可得，即可得出答
6、案.【详解】因为集合且，所以，解得：.故选：C.2. 函数的定义域为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用根式和分式有意义即可求解.【详解】要使有意义，只需要，解得且，所以的定义域为.故选：D.3. “”是“”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用不等式解法及充分条件必要条件的定义即得.【详解】因为，故由“”推不出“”，但由“”可推出“”，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选：B4 设，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为，
7、所以，则.故选：A5. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远已知为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可求解.【详解】对于A，当时，故A错误，对于B，由于，所以，故B正确，对于C，若则，此时，故C错误，对于D，取，则，不满足，故D错误，故选：B6. 已知函数，任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数以及
8、二次函数的性质即可求解.【详解】由任意，都有可知在上单调递减，当时，由于函数不为减函数，所以不满足题意，当时，函数为开口向上的二次函数，显然在时不单调递减，故不满足题意，故，解得，故选：A7. 已知函数是定义在上的偶函数，又，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质求出的值，即可得到的解析式，从而得到的单调性与对称性，即可判断.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，解得，所以，则，所以的对称轴为，开口向下，在上单调递增，在上单调递减，又，所以，即.故选：A8. 已知集合，若，且同时满足：若，则；若，则.则集合个数为（ ）A. 4B. 8C.
9、16D. 20【答案】B【解析】【分析】由补集与子集的概念求解即可.【详解】由题意，当时，当时，；当时，当时，；而元素5没有限制，所以集合可以为：，.故选：B.二多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列各组函数是同一组函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，的定义域为，的定义域为,由于定义域不相同，所以不是同一组函数，故A错误，对于B，两个函数的定义域均为，对应关系相同，故为同一
10、函数，故B正确，对于C，的定义域为，的定义域为，由于定义域不相同，所以不是同一组函数，故C错误，对于D，两个函数的定义域均为，对应关系相同，故为同一函数，故D正确，故选：BD10. 下列等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据指数幂与根式的互化即可结合选项逐一求解.【详解】对于A, ,故A正确，对于B，故B正确，对于C，故C错误，对于D，由有意义可得，进而得，所以，故D正确，故选：ABD11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）A. 有最小值8B. 有最小值C. 的最小值是4D. 的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】利用乘“1”法及基本不等式判断
11、A，利用基本不等式判断B、C，利用换元法及二次函数的性质判断D.【详解】因为正实数，满足，对于A：，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对于B：，则，当且仅当，即、时等号成立，故B错误；对于C：，当且仅当，即、时等号成立，故C正确；对于D：因为，所以，则，解得，所以，所以当时取得最小值，故D正确；故选：ACD12. 已知函数，下列说法正确的是（ ）A. 存在实数，使得为偶函数；B. 存在实数，使得为奇函数；C. 任意，存在实数，使得；D. 若在区间上单调递减，的最大值为.【答案】BCD【解析】【分析】计算，可知当时，为奇函数，但不存在实数，使得为偶函数，故B正确；A错误；化简函数的解析式，根据单
12、调性判断C，D两个选项.【详解】，显然当时，故为奇函数，但不存在实数，使得，故B正确；A错误；，当时，在，上单调递增； 当时，在，上单调递增；当时，在上单调递增，由单调性可知C正确；当时，在上单调递减，此时；当时，在上单调递减，此时；故的最大值为，D正确.故选：BCD.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知“，使得”是假命题，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】首先写出命题的否定，依题意，使得为真命题，则，即可得解.【详解】命题“，使得”的否定为：，使得，因为，使得是假命题，则，使得为真命题，所以，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：14. 若函数，且，则实数的
13、值为_.【答案】【解析】【分析】利用换元法求出的解析式，再代入计算可得.【详解】因为，当时，当且仅当时取等号，当时，当且仅当时取等号，令，则，所以，即，因为，所以，解得.故答案为：15. 函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】利用换元法将函数转化为（），利用二次函数的性质即可求解.【详解】令，则，且，故函数变为，因为对称轴为，开口向上，故的值域为，即的值域为，故答案为：16. 设集合，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】利用方程根的分布讨论即可.【详解】由题意可知方程有负数根，若，符合题意；若，则，显然方程有两个不等实数根，且，即该两实数根异号，符合题意；若，则函数的对称轴为，若要
14、满足题意，则需；综上所述：.故答案为：四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知集合，实数集为全集.（1）求，；（2）若是的必要条件，求的取值范围.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据集合的运算法则计算可得；（2）依题意可得，分、两种情况讨论.【小问1详解】由，即，解得，所以，又，所以，又或，所以.【小问2详解】因为“”是“”的必要条件，所以，又，当，即时，满足题意；当，即时，则，解得；综上可得.18. （1）求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用对数的运算法则计算
15、即可.（2）平方计算得到，再计算，计算得到答案.【详解】（1）原式；（2），则，又，则.19. 已知二次函数满足：.（1）求的解析式；（2）判定函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明.【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）由待定系数法，即可代入化简求解，（2）由函数单调性的定义即可求证.【小问1详解】是二次函数，设，,所以，则，又，则,故.【小问2详解】在上单调递减.证明：，因为，则，所以，则，即.所以，在上单调递减.20. 某工厂生产某种元器件，受技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：（注：次品率=次品数/生产
16、量），已知每生产1件合格的元件可以盈利2a元，但每生产1件次品将亏损a元.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额S（万元）表示为日产量（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？【答案】（1） （2）6万件【解析】【分析】（1）根据已知条件及次品率的关系式即可求解；（2）根据（1）的结论及基本不等式即可求解.【小问1详解】由题意可知，小问2详解】当时，当且仅当时取“，当时，所以日产量为6万件时，可获得最大利润.21. 已知函数.（1）若，判定函数的奇偶性；（2）若，是否存在实数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求的取值范围；否则说明理由.【答案】（1）奇函数 （2）存在，【解析】
17、【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，即可判断，（2）将代入，进而代入不等式中化简，将问题转化为对任意恒成立，即可结合不等式的性质求解.【小问1详解】若，则,函数的定义域为，关于原点对称，则是奇函数.【小问2详解】若，则，任意，若，则；若，则，即，也即，因为，所以进而， 而，所以，.综上，当时，不等式对任意恒成立.22. 定义：对于函数，当时，的取值集合为，则称区间为函数的一个“倒值映射区间”.已知一个定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）求函数在内的“倒值映射区间”；（3）求函数在定义域内的所有“倒值映射区间”.【答案】（1） （2） （3）和【解析】【分析】（1）当时，利用奇函数
18、的性质可知，代入求得的解析式；（2）设，利用单调性和“倒值映射区间”的定义可得，解方程即可；（3）分析知，只考虑或，结合单调性和“倒值映射区间”的定义即可求.【小问1详解】是定义在上的奇函数，则，当时，则，又是奇函数，则所以，【小问2详解】设，函数，因为在上递减，且在上的值域为，所以，解得，所以，函数在内的“倒值映射区间”为.【小问3详解】在时，函数值的取值区间恰为，其中且，所以，则，只考虑或，当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，则，所以，则，由（2）知，此时的“倒值映射区间”为；当时，可知因为函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，则，所以，当，在上递减，且在上的值域为，所以，解得，所以的“倒值映射区间”为；综上，函数在定义域内的“倒值映射区间”为和
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