1、广东省2021届六校高三第二次联考数学试题第卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1已知集合A1,0,1,2，Bx|21，b1且ab(ab)1，那么()Aab有最小值22 Bab有最大值22Cab有最小值32 Dab有最大值111如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下列命题正确的有()A直线CP和平面ABC1D1所成的角为定值B三棱锥DBPC1的体积为定值C异面直线C1P和CB1所成的角为定值D直线CD和平面BPC1平行12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现了数列：1，1，2，3，5，8，该数列
2、的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和人们把这个数列称为斐波那契数列. 将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的有( )A. B. C. D. 第卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若复数，则等于 .14. 已知数列中，若为等差数列，则 15已知，则 （2分），角 （3分）16已知函数若关于x的方程f(x)kx有6个不同的根，则实数k的取值范围是 .（用集合或区间表示）四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17（10分）已知点、，为坐标原点若且，求的取值范围18
3、.（12分）从； ；中任选两个补充到下面问题中的横线上，然后完成问题的解答.问题：已知数列为正项等比数列，；数列满足： .（1）求；（2）求的前项和.注：如果多次选择条件分别解答，按第一个解答计分.19.(12分)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BEFC，CEFFCB90，AD，EF2.(1)求证：AE平面DCF；(2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60.20.（12分）已知函数，其中为实数，是自然对数的底数(1)若a，证明：f (x)0；(2)若f (x)在(0，)上有唯一的极值点，求实数a的取值范围21.（12分）微型无人机航空摄影测量系统具有运行成本低、执行
4、任务灵活等优点，正逐渐成为航空摄影测量系统的有益补充为了测量一高层地标建筑AB的高度，无人机在空中适当高度的水平平面DEC内测得相关数据如下：在D位置测得顶端A的仰角和底端B的俯角分别为、，建筑上的点C的方位角为；在E位置测得A的仰角和B的俯角分别为、，建筑上的点C的方位角为D、E间相距220米.求建筑AB的高度（说明：本题中将建筑AB看作与地面所在水平平面垂直于底端B的线段方位角是水平面内从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的角）22.（12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）为自然对数的底数，若时，恒成立，证明：.2021届六校高三第二次联考数学答案一、选择题题号12
5、3456789101112答案CADBBCDBCDACBCDAB二、 填空题13. 14. 15，16. 部分客观题解析9将y3sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y，故A错误；由2xk，kZ，得x，kZ，得x是其对称轴，故B正确；令f (x)esin 2x，f (x)esin2(x)f (x)，故f (x)esin 2x的周期为，且在上为增函数，故C错误；由得，故D正确10 ab1(ab)(当且仅当ab1时取等号)，即(ab)24(ab)40且ab2，解得ab22，ab有最小值22，知A正确；由ab(ab)1，得ab1ab2(当且仅当ab1时取等号)，即ab210且ab1，解得ab32，
6、ab有最小值32，知C正确11 选项A，由线面所成角的定义，令BC1与B1C的交点为O，可得CPO即为直线CP和平面ABC1D1所成的角，当P移动时CPO是变化的，故A错误选项B，三棱锥DBPC1的体积等于三棱锥PDBC1的体积，而DBC1大小一定，PAD1，而AD1平面BDC1，点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，三棱锥DBPC1的体积为定值，故B正确；选项C，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，CB1平面ABC1D1，C1P平面ABC1D1，CB1C1P，故这两个异面直线所成的角为定值90，故C正确；选项D，直线CD和平面ABC1D1平行，直线
7、CD和平面BPC1平行，故D正确.12 对于A选项：，数列是以6为最小正周期的数列，又，所以，故A选项正确；对于C选项：，故C选项错误；对于B选项：斐波那契数列总有：，故B正确；对于D选项：，。所以，故D选项错误.16.关于x的方程f(x)kx有6个不同的根，等价于yf(x)与ykx的图象有6个交点，因为f(x)所以若0x1，则1x10，则f(x)f(x1)11；若1x2，则0x11，则f(x)f(x1)12；若2x3，则1x12，则f(x)f(x1)13；若3x4，则2x13，则f(x)f(x1)14；若4x5，则3x14，则f(x)f(x1)15；作出f(x)的图象如图，与图中OA、OB类
8、似，分析O与点（1，2）、（2，3）、（5，8）、（6，9）、（7，10）的连线可知，当时，yf(x)与ykx的图象有6个交点，所以k的取值范围是.17.（10分）解：，而，即， 3分则 4分（以下过程用数形结合解答的不扣分） 6分 ，解得 8分. 10分18.（12分）选择解：（1）令，得，所以， 1分令，得，所以，又，所以， 3分设数列的公比为，则，所以； 4分（2）当时， 5分又， ， 6分因为，所以，时也成立，所以. 8分，所以. 12分选择解：（1）令，得，所以，令，得，所以，又，所以，设数列的公比为，则，所以； 4分（2）当时， 又， ，因为，所以，时也成立，所以. 8分以下与选择
9、相同. 12分选择解：（1）令，得，所以，令，得，所以，相除得，所以，设数列的公比为，则，所以； 4分 （2）当时， 又， ，因为，所以，时也成立，所以. 8分以下与选择相同. 12分 19.(12分)(1)证明过点E作EGCF，垂足为点G，连接DG，可得四边形BEGC为矩形，又四边形ABCD为矩形，ADBCEG，ADBCEG， 四边形ADGE为平行四边形，AEDG， 2分又DG平面DCF，AE平面DCF， 3分AE平面DCF. 4分(2) 解 ，平面ABCD平面BEFC，交线为，CD平面BEFC.以C为原点，分别以CB，CF，CD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ABa，BEb
10、，CFc，（）则C(0,0,0)，A(，0，a)，B(，0,0)，E(，b,0)，F (0，c,0)， 5分因为(，cb,0)，(，b,0)，且0，|2，所以解得b3，c4，所以E(，3,0)，F (0,4,0)， 7分（用平面几何或三角函数知识求得BE=3，CF=4的，请参照评分.）设n(x，y，z)与平面AEF垂直，则即令x1，解得n， 9分又因为AB平面BEFC，(0,0，a)， 10分所以， 11分得到a，当AB时，二面角AEFC的大小为60. 12分20.（12分）(1)证明a时，令g(x)exx，则g(x)ex1， 1分当x0时，g(x)0时，g(x)0，g(x)在(0，)上为增函
11、数，函数(x)的极小值也是最小值为， 3分所以g(x)g(0)1，而1，所以exx，即f (x)0. 5分(2)解f (x)在(0，)上有唯一的极值点等价于f(x)0在(0，)上有唯一的变号零点，f(x)0等价于a， 6分设h(x)，x(0，)，h(x)， 7分x(0，)，当0x时，h(x)0，h(x)在上为减函数，当x0，h(x)在上为增函数，函数h(x)的极小值也是最小值为， 10分又h(0)0，h()， 11分所以当时，方程a在(0，)上有唯一的变号零点，所以a的取值范围是 12分21.（12分）解：由AB平面DEC知，在中，得, 2分 在中，, 4分由余弦定理有化简得，所以，, 6分在中，,即, 10分答：建筑AB的高度为. 12分22.（12分）解：（1） 1分当时，且在上单调递增， 2分当时，单调递减；当时，单调递增. 3分当时，的递减区间为，递增区间为. 4分（2） 在上单调递增， ，存在唯一的，使，即，得. 6分而且，当时，单调递减；当时，单调递增. 的唯一极小值即的最小值 7分恒成立，得， 8分， 设 9分 10分当时，单调递减；当时，单调递增. 极小值 即. 12分
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