1、44三角函数图象的变换1用五点法画yAsin(x)在一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示.xxyAsin(x)0A0-A02.图象变换(0)路径：先向左(0)或向右(0)或向右(0，0)的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式yAsin(x)，x(kZ)上单调递增，当k0时，选项B满足条件故选B. ()已知函数ysin(x)(0，|)的部分图象如图所示，则_.解：因为T，所以2.又函数图象经过点，所以sin(2)1，2k(kZ)，因为|，所以-.故填-. ()函数ysinx-cosx的图象可由函数ysinxcosx的图象至少向右平移_个单
2、位长度得到解：因为ysinxcosx2sin，ysinx-cosx2sin2sin，所以函数ysinx-cosx的图象可由函数ysinxcosx的图象至少向右平移个单位长度得到故填.类型一五点法作图与求解析式(1)作出函数y2sin的图象解：周期T4，振幅A2.按五个关键点列表：02x-y020-20描点作图：【点拨】用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设Xx，由X0，2来求出相应的x值，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)()函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin解：由图可知，T2，所以2，由五点作图法
3、结合各选项可知2，所以-，所以函数的解析式为y2sin.故选A.【点拨】已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式，常用如下两种方法：(1)升降零点法，由，即可求出；求时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出；(2)代入最值法，将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出和.已知曲线yAsin(x)(A0，0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，且.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”在图中画出(1)中函数在一个周期上的图象解：(1)由题意知A，T4，2，所以ysin.
4、又图象过点，代入表达式得sin(2)，即sin1，从而2k，2k，kZ.又因为，所以.所以ysin.(2)按五个关键点列表：2x02x-y00-0描点作图：类型二三角函数的图象变换说明由函数ysinx的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象(1)ysin； (2)ysin；(3)y； (4)ysin.解：(1)将ysinx的图象向左平移个单位长度，得到ysin的图象(2)解法一：将ysinx的图象向右平移个单位长度，得到ysin的图象，再把ysin图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，就得到ysin的图象解法二：先把ysinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y
5、sin2x的图象，再将ysin2x的图象向右平移个单位长度，就得到ysin的图象(3)将ysinx的图象的x轴下方部分翻折到x轴上方，去掉x轴下方图象，即可得到y的图象(4)先去掉y轴左边的ysinx的图象，再将y轴右边的图象翻折到y轴左边，保留y轴右边的图象，即可得到ysin的图象【点拨】(1)本题主要考查图象的平移、伸缩、对称变换三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出对称变换要注意翻折的方向(2)三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换()已知函数ysin 向右平移个单位后，所得的
6、图象与原函数图象关于x轴对称，则的最小正值为_解：原函数图象向右平移个单位后，得到函数ysin(x-)的图象，其与原函数图象关于x轴对称，则必有sin(x-)-sin，由三角函数诱导公式可知的最小正值为3.或用最少平移半周期解题故填3.类型三函数yAsin(x)k的图象及其变换函数f(x)sin(2x)acos(2x)，其中a为正常数且00，得a.于是f(x)sin(2x)cos(2x)2sin.又f(x)的图象关于直线x对称，所以当x时，f(x)取得最值，即2k，得k-k-(kZ)又00)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值解：(1)根据表中已知数据，
7、解得A5，2，-.数据补全如下表：x02xAsin(x)050-50且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得g(x)5sin.令2x2-k，kZ，解得x-，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，令-，解得-，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.1五点法作函数图象及函数图象变换问题(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式“五点法”作图的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换，不易出错，且图形简洁(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，而“先伸缩，后平移”也经
8、常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，但要注意：先伸缩后平移时要把x前面的系数提取出来2根据yAsin(x)，xR的图象求解析式的步骤：(1)首先确定振幅和周期，从而得到A与.()A为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半()由周期得到：函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的个周期(借助图象很好理解记忆)(2)求的值时最好选用最值点求峰点：x2k； 谷点：x-2k.也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点
9、升零点(图象上升时与x轴的交点)：x2k；降零点(图象下降时与x轴的交点)：x2k(以上kZ)3辅助角公式asinbcossin()(由tan确定)的应用是高考的热点，应予以重视1()为了得到函数ysin(2x1)的图象，只需把函数ysin2x的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动1个单位长度D向右平行移动1个单位长度解：因为ysin(2x1)sin，所以只需把函数ysin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度即可故选A.2函数f(x)2sin(x)(0，-) 的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2，- B2，-C4，- D4，解：由图可知，T，
10、T，2.因为点在图象上，所以22k，-2k，kZ.又-，所以-.故选A.3()若0，函数ycos的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为()A B C3 D4解：由题意知k(kN*)，得3k(kN*)，所以的最小值为3.故选C.4将函数ysinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()Aysin BysinCysin Dysin解：将函数ysinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度可得ysin，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得ysin.故选C.5()为了得到函数ysin3xco
11、s3x的图象，可以将函数ycos3x的图象()A向右平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向左平移个单位解：因为ysin3xcos3xcoscos，将ycos3x的图象向右平移个单位即可得到ycos的图象故选A.6()已知函数f(x)sin(x)(0，|)的最小正周期为，且其图象向左平移个单位后得到函数g(x)cosx的图象，则函数f(x)的图象()A关于直线x对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于点对称解：T，所以2，g(x)fsinsincos2x，且|0，0)在闭区间上的图象如图所示，则_解：由图象知T，则3.故填3.8函数ycos(2x)(-)的图象向右平移个单位后，与函
12、数ysin的图象重合，则_.解：ycos(2x)的图象ycoscos(2x-)-cos(2x)的图象因为y-cos(2x)sin与ysin 的图象重合，所以-2k，kZ，解得2k.又-，所以.故填.9()已知函数f(x)sin(x)(0，-)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为，求和的值解：由题意，函数f(x)的最小正周期T，2.因为f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，k-，kZ.又-，所以-.10已知函数ysincos(xR)(1)用“五点法”画出它的图象；(2)求它的振幅、周期及初相；(3)说明该函数的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到？解：(1)ysinco
13、s22sin.令X，按五个关键点列表：X02x-y020-20描点作图：(2)根据解析式及图象知，振幅A2，周期T4，初相.(3)将ysinx图象上各点向左平移个单位，得到ysin的图象，再把ysin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象，最后把ysin的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y2sin图象11()设f(x)2sin(-x)sinx-(sinx-cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g的值解：(
14、1)由f(x)2sin(-x)sinx-(sinx-cosx)22sin2x-(1-2sinxcosx)(1-cos2x)sin2x-1sin2x-cos2x-12sin-1，由2k-2x-2k(kZ)，得k-xk(kZ)，所以f(x)的单调递增区间是(kZ)(2)由(1)知f(x)2sin-1，把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y2sin-1的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到y2sinx-1的图象，即g(x)2sinx-1.所以g2sin-1. ()已知向量a(2cosx，sinx)，b(cosx，2cosx)，函数f(x)abm，mR，且当x 时
15、，f(x)的最小值为2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)先将函数yf(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求方程g(x)4在区间 上的所有根之和解：(1)f(x)2cos2x2sinxcosxmcos2xsin2xm12sinm1.因为x，所以2x，当2x，即x时，f(x)min2m12，解得m2，所以f(x)2sin3，令2k-2x2k得f(x)的增区间为 (kZ)(2)将函数yf(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到f(x)2sin3，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数yg(x)的图象，所以g(x)2sin32sin3，又g(x)4，得sin，解得4x-2k或4x-2k，kZ.即x或x(kZ)，因为x，所以x或，故所有根之和为.