1、6.3利用导数解决实际问题学 习 任 务核 心 素 养1了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用(重点)2能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)(难点、易混点)1通过导数的实际应用的学习，培养数学建模素养2通过解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升逻辑推理、数学运算素养“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”著名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的关系导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢？知识点用导数解决最优化问题的基本思路解决最优化问题的注意点利用导数求解最优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题，
2、解题中要特别注意以下几点：(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量之间的关系式；(2)确定函数解析式中自变量的取值范围；(3)所得的结果要符合问题的实际意义1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8BC1D8C原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值12做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A6 m B8 m C4 m D2 mC设底面边长为x m，高为h
3、m，则有x2h256，所以h所用材料的面积设为S m2，则有S4xhx24xx2x2S2x，令S0，得x8，因此h4(m) 类型1面积、体积的最值问题【例1】(对接教材P99例2)请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，点E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此
4、时包装盒的高与底面边长的比值思路点拨弄清题意，根据“侧面积4底面边长高”和“体积底面边长的平方高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值解设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm由已知得ax，h(30x)，0x30(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)令V0，得x0(舍去)或x20当x(0，20)时，V0；当x(20，30)时，V0所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，所以包装盒的容积最大时，x20，此时，包装盒的高与底面边长的比值为1解决面积、体积最值
5、问题的思路要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值2解决优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较跟进训练1将一张26 m 的矩形钢板按如图所示划线，要求至全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个有盖的长方体水箱(其中与、与分别是全等的矩形，且)，设水箱的高
6、为x m，容积为y m3(1)写出y关于x的函数关系式；(2)x取何值时，水箱的容积最大解(1)由水箱的高为x m，得水箱底面的宽为(22x) m，长为(3x) m故水箱的容积为y2x38x26x(0x1)(2)由y6x216x60，解得x(舍去)或x因为y2x38x26x(0x1)在内单调递增，在内单调递减，所以当x的值为时，水箱的容积最大 类型2用料最省、成本(费用)最低问题【例2】位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短思路点拨可设CDx km，则CE(3x)km，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而
7、构造出所需电线总长度的函数解设CDx km，则CE(3x)km则所需电线总长lACBC(0x3)，从而l令l0，即0，解得x1.2或x6(舍去)因为在0，3上使l0的点只有x1.2，所以根据实际意义，知x1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2 km处时，所需电线总长最短1用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答2利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得
8、最大(小)值跟进训练2甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是Pv4v315v(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解(1)QP400v26 000(0v100)(2)Q5v，令Q0，则v0(舍去)或v80，当0v80时，Q0；当800，v80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值Q(80)(元) 类型3利润最大、效率最高问题在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该
9、点处取最值吗？提示根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大思路探究(1)根据x5时，y11求a的值(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值解(1)因为x5时，y11，所以1011，故a2(2)由(1)知，该商品每
10、日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2，3x6，从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大(变条件)本例条件换为：该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1x12)满足：当1x4时，ya(
11、x3)2，(a，b为常数)；当4x12时，y100已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获利润f(x)最大(2.65)解(1)由题意：x2时y800，ab800，又x3时y150，b300，可得a500y(2)由题意：f(x)y(x1)当1x4时，f(x)500(x3)2(x1)300，f(x)500(3x5)(x3)，由f(x)0，得x3，f(x)在，(3，4)上递增，在上递减ff(4)1 800
12、，当x4时有最大值，f(4)1 800当4x12时，f(x)(x1)2 9002 9004001 840，当且仅当100x，即x25.3时取等号，x5.3时有最大值1 8401 8001 840，当x5.3时f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元/千克时，商场所获利润最大1经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动2关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式
13、为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件D7万件C因为yx281，所以当x9时，y0；当0x9时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x9时函数取最大值2某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x0，此时V(x)单调递增；当40x60时，V(x)0，此时V(x)单调递减所以x40时V(x)有极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为403一个矩形铁皮的长为16 cm，宽为10 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为x(cm)，小盒子的容积为V(
14、cm3)，则()A当x2时，V有极小值B当x2时，V有极大值C当x时，V有极小值D当x时，V有极大值B小盒子的容积为Vx(162x)(102x)4x352x2160x(0x5)，所以V12x2104x160，令V0得x2或x(舍去)，当0x0，V(x)单调递增，当2x5时，V0)，为使y最小，则x应为_40由题设知yx239x40，令y0，解得x40或x0)在(40，)上单调递增，在(0，40)上单调递减当x40时，y取得最小值5某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千
15、台6设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)令y0，解得x0或x6，经检验知x6既是函数的极大值点又是函数的最大值点故x6，利润最大回顾本节知识，自我完成以下问题：1利用导数解决生活中优化问题的一般步骤有哪些？提示提醒：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑问题的实际意义，不符合实际意义的值应舍去(2)在解决实际问题的过程中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数解析式表示出来，还应确定出函数解析式中自变量的取值范围2生活中的最优化问题有哪些常见类型？提示利润最大利润最大问题中目标函数是利润，一般确定函数解析式的等量关系为利润每件
16、利润销量，其中每件利润每件售价每件成本实际问题中成本可分为两类：可变部分(因产品数量变化而变化)与不变部分(不因产品数量变化而发生改变)认真审题，读题两遍：第一遍看完题目后根据关键词确定函数模型(利润最大问题)；第二遍读题时应标清数据的地位与作用，不要张冠李戴准确确定定义域，最后用导数求最值用料最省受一定资源限制，实际生活中有一类最优化问题就是费用最低、用料最省问题通过审题将所需费用(或几何体的表面积等涉及用料问题的量)设为目标变量，选择恰当的自变量，抓住题中的等量关系，写出函数解析式，一定要注意自变量的实际意义，准确确定定义域建立函数模型后，用导数法求目标函数的最小值容积最大解决容积、体积最大问题时，需根据几何体的形状，利用立体几何的相关知识，如柱、锥、球的体积公式等，将目标变量表示为取好的自变量的函数，准确确定定义域，再用导数知识求目标函数的最大值效率最高先要清楚效率是如何求出的，然后求出产量与生产时间，最后得出结论运费最省其实此类问题就是路程、时间、速度三者之间的关系问题，由时间与速度求出路程，根据路程确定何时运输费用最少