1、第2课时函数最值的求法学 习 任 务核 心 素 养1理解函数极值与最值的区别与联系(易混点)2会求函数在闭区间上的最值(重点)3能利用导数解决与函数最值相关的综合问题(难点)1通过学习函数的最值概念，培养数学抽象素养2利用导数求函数的最值，提升逻辑推理、数学运算素养如图，在闭区间a，b上的函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，则它必有最大值和最小值问题：(1)f(x)的最大值和最小值分别是多少？(2)你能指出最值与极值的关系吗？提示(1)最大值为f(x3)，最小值为f(a)(2)求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可知识点函数的最值(1)一般地，如果函数yf(x)在定义域
2、内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；(2)如果函数yf(x)的定义域为a，b且存在最值，函数yf(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点拓展：求函数的最值时，应注意以下几点：(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念(2)闭区间a，b上的连续函数一定有最值开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(
3、极小值)不一定就是最大值(最小值)1函数f(x)在区间2，4上的最小值为()A0BCDCf(x)，当x2，4时，f(x)0，即函数f(x)在区间2，4上是单调递减函数，故当x4时，函数f(x)有最小值2已知函数f(x)x33x2m(x2，2)，f(x)的最小值为1，则m_1f(x)3x26x，x2，2令f(x)0，得x0，或x2，当x(2，0)时，f(x)0，当x(0，2)时，f(x)0，当x0时，f(x)有极小值，也是最小值f(0)m1，m1 类型1求函数的最值不含参数的函数最值【例1】(对接教材P95例3)求下列各函数的最值(1)f(x)3x39x5，x2，2；(2)f(x)sin 2xx
4、，x解(1)f(x)9x299(x1)(x1)，令f(x)0得x1或x1当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x2(2，1)1(1，1)1(1，2)2f(x)00f(x)111111从表中可以看出，当x2或x1时，函数f(x)取得最小值1当x1或x2时，函数f(x)取得最大值11(2)f(x)2cos 2x1，令f(x)0，得cos 2x，又x，2x，2x，x函数f(x)在上的两个极值分别为f ，f 又f ，f 比较以上函数值可得f(x)max，f(x)min含参数的函数最值【例2】a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值 解f(x)3x23a3(x2a)若a0，则f(x)
5、0，函数f(x)单调递减，所以当x0时，有最大值f(0)0若a0，则令f(x)0，解得xx0，1，则只考虑x的情况(1)若01，即0a1，则当x时，f(x)有最大值f()2a(如下表所示)x0(0，)(，1)1f(x)0f(x)02a3a1(2)若1，即a1时，则当0x1时，f(x)0，函数f(x)在0，1上单调递增，当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1综上可知，当a0，x0时，f(x)有最大值0；当0a1，x时，f(x)有最大值2a；当a1，x1时，f(x)有最大值3a11求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函
6、数的单调性，确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值2 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0的三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值跟进训练1已知a是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0，2上的最大值解f(x)3x22ax令f(x)0，解得x10，x2当0，即a0时，f(x)在0，2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a当2，即a3时，f(x)在0，2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0当02，即0a3时，f(x)在上单调递减
7、，在上单调递增，从而f(x)max综上所述，f(x)max 类型2已知函数的最值求参数【例3】已知函数f(x)ax36ax2b，x1，2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值 解由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)(1)当a0，且x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，0)0(0，2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1，2上的最大值，f(0)b3又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2(2)
8、当af(1)，f(2)16a293，解得a2综上可得，a2，b3或a2，b29已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.跟进训练2若函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_1f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0，f(x)单调递增；当x时，f(x)，0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，
9、由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0，1)1(1，2)g(t)0g(t)极大值1mg(t)在(0，2)内有最大值g(1)1mh(t)2tm在(0，2)内恒成立等价于g(t)0在(0，2)内恒成立，即等价于1m0m的取值范围为(1，)1(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t0，2，使h(t)2tm成立”，则实数m的取值范围如何求解？解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t0(0，1)1(1，2)2g(t)0g(t)1m
10、极大值1m3mg(t)在0，2上有最小值g(2)3m，存在t0，2，使h(t)2tm成立，等价于g(t)的最小值g(2)03m3，实数m的取值范围为(3，)2(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2(0，2)，都有h(t1)2t2m”，求实数m的取值范围解h(t)t3t1，t(0，2)，h(t)3t21由h(t)0，得t或t(舍)又当0t时，h(t)0，当t2时，h(t)0当t时，h(t)max1令(t)2tm，t(0，2)，(t)minm4由题意可知m4，即m3实数m的取值范围为分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟进训练3已知f(x)xln x2xa，x，曲线yf(x)在点(e
11、，f(e)处切线的斜率为_；若f(x)0恒成立，则a的取值范围为_0(，0f(x)ln x1，f(e)0，由 得exe2， 得1x0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin ，故选C3函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值 Df(x)3x233(x1)(x1)，当x(1，1)时，f(x)0，所以f(x)在(1，1)上是单调递减的，无最大值和最小值，故选D4函数f(x)x2ln x的最小值为_f(x)x2ln x，x0，f(x)x，令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得0x1，所以函数在(
12、0，1上单调递减；在(1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)5设函数f(x)x32x5，若对任意x1，2，都有f(x)m，则实数m的取值范围是_令f(x)3x2x20，得x1或又f(1)，f，f(1)，f(2)7，所以m回顾本节知识，自我完成以下问题：1函数的极值与最值的区别与联系是什么？提示(1)函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较(2)函数的最大值一定不小于最小值，而函数的极大值与极小值之间没有必然的大小关系(3)函数的极值只能在区间内部取得，而最值可能在区间内部取得，也可能在区间的端点处取得函数有极值不一定有最值，有最值也不一定有极值，
13、最值只要不在端点处取得就一定在极值点处取得(常函数除外)(4)若函数在一个闭区间上存在最大(小)值，则最大(小)值只能有一个，即具有唯一性，但最值点未必唯一；而函数的极值可能有多个，也可能一个也没有2已知不等式恒成立，求参数取值范围的方法有哪些？提示(1)分类讨论法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题求解时要确定一个函数，看哪一个变量的范围已知，即所要确定的函数是以已知范围的变量为自变量的函数(2)分离参数法：在不等式中，参数只出现一次或出现的参数只是一次的形式，可以对不等式进行变形，把参数分离到一边，而另一边则是关于自变量x的表达式，这样的恒成立问题可用分离参数法来求解一般地，f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min