1、6.2.2导数与函数的极值、最值第1课时函数的导数与极值学 习 任 务核 心 素 养1理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件(易混点)2会求函数的极值(重点)3能利用导数解决与函数极值相关的综合问题(难点)1通过学习函数的极值、极值点等概念，培养数学抽象素养2利用导数求函数的极值，提升逻辑推理、数学运算素养在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是其附近的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点对于连续函数，有类似的性质“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫作最大或极大他还认为上帝是无限
2、的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是极小知识点1函数的极值一般地，设函数yf(x)的定义域为D，设x0D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有(1)f(x)f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小1极大值一定比极小值大吗？提示不一定极值是一个局部性概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或最小的，故极大值与极小值之间无法确定大小关系1函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)()A无极大值点，有
3、四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点C设yf(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在xx1，xx3处取得极大值，在xx2，xx4处取得极小值知识点2函数的导数与极值一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f(x0)0(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f(x)0，对于x0右侧附近的任意x，都有f(x)0，那么此时x0是f(x)的极大值点(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f(x)0，那么此时x0是f(x)的极小值点(3)如果f(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x
4、0一定不是yf(x)的极值点2“f(x0)0”是“x0是yf(x)的极值点”的什么条件？提示“f(x0)0”是“x0是yf(x)的极值点”的必要不充分条件如f(x)x3，由f(x)0得x0，但0不是f(x)x3的极值点2若可导函数f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则f(1)_，1是函数f(x)的_值点0极大由题意可知，当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，f(1)0，1是函数f(x)的极大值点 类型1求函数的极值或极值点【例1】求下列函数的极值(1)f(x)2x33x212x1；(2)f(x)x22ln x解(1)函数f(x)2x33x212x1的定义域为R，f(x)6
5、x26x126(x2)(x1)，令f(x)0，得x12，x21当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值21极小值6所以当x2时，f(x)取极大值21；当x1时，f(x)取极小值6(2)函数f(x)x22ln x的定义域为(0，)，f(x)2x，令f(x)0，得x11，x21(舍去)当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，)f(x)0f(x)极小值1因此当x1时，f(x)有极小值1，无极大值求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f(x)(2)求方程f(x)0的根(3)利用f(x)与
6、f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值跟进训练1已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，f(0)ab44，又f(0)b4，由可得ab4(2)f(x)ex(4x4)x24x，则f(x)ex(4x8)2x44ex(x2)2(x2)(x2)(4ex2)令f(x)0，得x12，x2ln 2，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，ln 2)ln 2(ln 2，)f
7、(x)00f(x)极大值极小值f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2) 类型2利用函数的极值求参数【例2】(1)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则a_，b_(2)若函数f(x)x3x2ax1有极值点，则a的取值范围为_(1)29(2)(，1)(1)f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0，即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，
8、f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为增函数故f(x)在x1处取得极小值，a2，b9(2)f(x)x22xa，由题意得方程x22xa0有两个不同的实数根，44a0，解得a1已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.跟进训练2已知函数f(x)的导函数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是()A(，1)B(0，)C(0，1)D(1，0)Df
9、(x)a(x1)(xa)，若a1，f(x)在(，a)上单调递减，在(a，1)上单调递增，f(x)在xa处取得极小值，与题意不符；若1a0，则f(x)在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，与题意不符，故选D 类型3函数极值的综合应用1如何画出函数f(x)2x33x236x16的大致图像提示f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2)由f(x)0，得x2或x3，函数f(x)的递增区间是(，2)和(3，)由f(x)0，得2x3，函数f(x)的递减区间是(2，3)由已知得f(2)60，f(3)65，f(0)16结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图像如图所示(答案不唯一)2
10、当a变化时，方程2x33x236x 16a有几解？提示方程2x33x236x16a解的个数问题可转化为函数ya与y2x33x236x16的图像有几个交点的问题，结合问题1可知：(1)当a60或a65时， 方程2x33x236x16a有且只有一解；(2)当a60或a65时，方程2x33x236x16a有两解；(3)当65a60时，方程2x33x236x16a有三解【例3】已知函数f(x)x33xa(a为实数)，若方程f(x)0有三个不同实根，求实数a的取值范围思路点拨求出函数的极值，要使f(x)0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围解令f(x)3x233(x1)
11、(x1)0，解得x11，x21当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0所以当x1时，f(x)有极大值f(1)2a；当x1时，f(x)有极小值f(1)2a因为方程f(x)0有三个不同实根，所以yf(x)的图像与x轴有三个不同交点，如图由已知应有解得2a2，故实数a的取值范围是(2，2)1(变条件)本例中，若方程f(x)0恰有两个根，则实数a的值如何求解？解由例题解析，知函数的极大值f(1)2a，极小值f(1)2a，若f(x)0恰有两个根，则有2a0，或2a0，所以a2或a22(变条件)本例中，若方程f(x)0有且只有一个实根，求实数a的范围解由例题解析可知，要使方程f(x)0有且只有一个实根
12、，只需2a0或2a0，即a2或a2利用导数可以判断函数的单调性，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.跟进训练3已知函数f(x)ax22xln x有两个不同的极值点x1，x2，则a的取值范围是_；且不等式f(x1)f(x2)0)，因为函数f(x)ax22xln x有两个不同的极值点x1，x2，所以方程2ax22x10有两个不相等的正实数根，于是有：，解得0a0，故h(a)在0a上单调递增，故h(a)h5，所以t5，因此t的取值范围是(5，)1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f(x)在(
13、a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()A1个B2个C3个D4个B依题意，记函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当axx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0；当x2xx4时，f(x)0；当x4xb时，f(x)0因此，函数f(x)分别在xx1，xx4处取得极大值，故选B2已知f(x)，则f(x)()A在(，)上单调递增B在(，1)上单调递减C有极大值，无极小值D有极小值，无极大值C由题意f(x)，当x0，f(x)递增，x1时，f(x)0，x2a时，f(x)0，0x2a时，f(x)0，f(x)在(，0)和(2a，
14、)上递增，在(0，2a)上递减，f(x)的极小值是f(2a)8a312a32a20，解得a(a0舍去)回顾本节知识，自我完成以下问题：1求函数极值时需要注意哪些问题？提示(1)求函数的极值需重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的附近左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点(2)求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题讨论的依据有两种：一是看参数是否对f(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f(x)在其零点附近两侧的符号的确定是否与参数有关，
15、若有关，则需要分类讨论2你是如何理解函数极值这一概念的？提示(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的(2)函数的极值点不是点，是使函数f(x)取到极值的x的值，是一个实数(3)极值点是函数定义域上的自变量的值，而函数定义域的端点绝不可能是函数的极值点(4)若f(x)在a，b上有极值，那么f(x)在a，b上绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值(5)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大(6)若函数f(x)在a，b上有极值且函数图像连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点