1、6.1.3基本初等函数的导数学 习 任 务核 心 素 养1理解导函数的概念(难点)2能根据定义求函数yC，yx，yx2，y，y的导数(难点)3掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用(重点、易混点)1通过导函数概念的学习，培养数学抽象的素养2通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升数学运算素养在同一平面直角坐标系中，画出函数y2x，y3x及y4x的图像，并根据导数定义，求它们的导数问题：(1)从图像上看，它们的导数分别表示什么？(2)函数ykx(k0)增(减)的快慢与什么有关？提示(1)直线的斜率(2)斜率k的大小知识点1导数的概念一般地，如果函数yf(x)在其定义域内的每一
2、点x都可导，则称f(x)可导此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f(x)于是，在f(x)的定义域内，f(x)是一个函数，称其为函数yf(x)的导函数记作f(x)(或y，yx)，即f(x)yyx 导函数通常也简称为导数1f(x0)与f(x)相同吗？提示不同f(x)是函数yf(x)的导函数，而f(x0)是f(x)在xx0处的导数值1函数y在x2处的导数为_1法一：y1，yx2 1法二：y，y yx21知识点2导数公式表C0(x)x1(ax)axln a(logax)(sin x)cos x(cos x)sin x2函数yex及yln x的导数分别是多少？提示(ex)ex，(ln x)
3、2思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数在一点处的导数f(x0)是一个常数()(2)若y，则y21()(3)若f(x)sin x，则f(x)cos x()(4)若y，则y()答案(1)(2)(3)(4) 类型1利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)yx12；(2)y；(3)y；(4)y3x；(5)ylog5x思路点拨首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式解(1)y(x12)12x11(2)y(x4)4x5(3)y()(x)x(4)y(3x)3xln 3(5)y(log5x)1若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解2
4、对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误3要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别跟进训练1若f(x)x3，g(x)log3x， 则f(x)g(x)_3x2f(x)3x2，g(x)，f(x)g(x)3x2 类型2利用公式求函数在某点处的导数【例2】质点的运动方程是ssin t(1)求质点在t时的速度；(2)求质点运动的加速度思路点拨(1)先求s(t)，再求s(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导解(1)v(t)s(t)cos t，vcos 即质点在t时的速度为(2)v(t)cos t
5、，加速度a(t)v(t)(cos t)sin t1速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数2求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值跟进训练2(1)求函数f(x)在(1，1)处的导数；(2)求函数f(x)cos x在处的导数解(1)f(x)(x)x，f(1)(2)f(x)sin x，fsin 类型3利用导数公式求切线方程1如何求yf(x)在点(x0，y0)处的切线方程？提示先计算f(x)，再求f(x0)，最后利用yf(x0)f(x0)(xx0)求解便可2若已知函数yf(x)的切线方程ykxb，如何求切点坐
6、标(x0，y0)?提示利用求解【例3】(对接教材P77例5)已知曲线yf(x)，yg(x)，过两曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形的面积思路点拨先求交点再分别求切线方程计算三角形的面积解由得即两曲线的交点坐标为(1，1)又f(x)，g(x)f(1)，g(1)1两切线方程分别为y1(x1)，即yx；y1(x1)，即yx2其与x轴的交点坐标分别为(1，0)，(2，0)，故两切线与x轴所围成的三角形面积为1|2(1)|求曲线方程或切线方程时，应注意的事项(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知
7、点是不是切点，如果不是，应先设出切点跟进训练3过原点作曲线yf(x)ex的切线，则切点坐标为_，切线方程为_(1，e)yex设切点坐标为(x0，y0)，则切线的斜率为f(x0)e，则e，又y0e，得x01，切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e，切线方程为yee(x1)，即yex1已知f(x)x(Q)，若f(1)，则等于()ABCDDf(x)x，f(x)x1，f(1)2给出下列结论：若y，则y；若y，则y；若f(x)3x，则f(1)3其中正确的个数是()A1 B2 C3 D0B对于，y(x3)，正确；对于，yxx，不正确；对于，f(x)3，故f(1)3，正确3曲线yf(x)在点处的切线的斜率为(
8、)A2 B4 C3 DB因为f(x)，所以f(x)，f4，故选B4已知f(x)x2，g(x)ln x，若f(x)g(x)1，则x_1因为f(x)x2，g(x)ln x，所以f(x)2x，g(x)且x0，f(x)g(x)2x1，即2x2x10，解得x1或x(舍去)故x15曲线yf(x)ex在点(2，e2)处的切线方程为_ye2(x1)f(x)ex，f(x2)e2，在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2(x1)回顾本节知识，自我完成以下问题：1函数f(x)在xx0处的导数f(x0)与导函数f(x)之间有何区别与联系？提示区别：(1)f(x0)是函数f(x)在xx0处函数值的改变
9、量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；(2)f(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a，b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数导函数f(x)联系：函数f(x)在xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值这也是求函数在xx0处的导数的方法之一2记忆基本初等函数的导数公式时需要注意哪些问题？提示(1)若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用yx的导数公式解决(2)记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要注意函数名的变化，二要注意符号的变
10、化(3)有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2的导数，因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x导数的发展与成熟一、发展17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数牛顿的有关“流数术”的主要著作是求曲边形面积、运用无穷多项方程的计算法和流数术和无穷级数，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时
11、的极限二、成熟1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的百科全书第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：dy/dx)lim(oy/ox)1823年，柯西在他的无穷小分析概论中定义导数：如果函数yf(x)在变量X的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式微积分学理论基础，大体可以分为两个部分一个是实无限理论，即无限是一个具体的东西，一种真实的存在；另一种是潜无限理论，指一种
12、意识形态上的过程，比如无限接近就数学历史来看，两种理论都有一定的道理其中实无限用了150年，后来极限论就是现在所使用的光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性来统一微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法三、连续不可导的曲线例如，魏尔斯特拉斯函数就是一类处处连续而处处不可导的实值函数魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔魏尔斯特拉斯历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法认识了导数的由来之后，那么利用导数理论解决数学问题还是我们学习的重中之重