1、第五章平面向量与复数1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念了解向量的实际背景理解平面向量的概念和两个向量相等的含义理解向量的几何表示(2)向量的线性运算掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义(3)平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件(4)平面向量的数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积
2、的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(5)向量的应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题2数系的扩充和复数的引入(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件(2)了解复数的代数表示法及其几何意义(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义51平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有_又有_的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的_(或称模).的模记作_(2)零向量：_的向量叫做零向量，其方向是_的(3)单位向量：长度等于_的向量叫做单位向量.是一个与a同向的_-
3、是一个与a_的单位向量(4)平行向量：方向_或_的_向量叫做平行向量平行向量又叫_，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：0与任一向量_(5)相等向量：长度_且方向_的向量叫做相等向量(6)相反向量：长度_且方向_的向量叫做相反向量(7)向量的表示方法：用_表示；用_表示；用_表示2向量的加法和减法(1)向量的加法三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为_以第二个向量b的终点B为_的向量就是a与b的_(如图1)推广：_.图1图2平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作ABCD，则以A为起点的_就是a与b的和(如图2)在图2中，b，
4、因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式加法的运算性质：ab_(交换律)；(ab)c_(结合律)；a0_a.(2)向量的减法已知向量a，b，在平面内任取一点O，作a，b，则_，即a-b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)3向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作_，它的长度与方向规定如下：_；当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当0时，a_.(2)运算律：设，R，则：(a)_；()a_；(ab)_.4两个向量共线定理向量a(a0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数，使得_自查自纠1(1)大小方向长度(2)长度为0任意(3)1个单
5、位长度单位向量方向相反(4)相同相反非零共线向量平行(5)相等相同(6)相等相反(7)字母有向线段坐标2(1)起点终点和对角线baa(bc)0a(2)a-b3(1)a|a|相同相反0(2)(a)aaab4ba 设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1 C2 D3解：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则当a为零向量时，a的方向任意；当a不为零向量时，a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a-|a
6、|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.故选D. 设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.- B.-C. D.-解：(-)-.故选A. ()已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20，则等于()A2- B-2C.- D-解：由20得2-2-0，故2-.故选A. 在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，m，n(mn0)，若，则_.解：-n-m，-，因为，且向量和不共线，所以，解得2.故填2. 直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足()，则|_.解：如图，取BC边中点D，连接AD，则()，()-，因此|1.故填1.类型一向量的基本概念给出下
7、列命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；若|a|b|，则ab；若，则四点A，B，C，D构成平行四边形；在ABCD中，一定有；若mn，np，则mp.其中不正确的个数是()A2 B3 C4 D5解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故不正确若|a|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故不正确若，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以不正确正确的是.故选B.【点拨】从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征逐一进行考察(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等
8、向量的关键是方向相同且长度相等(4)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈下列命题中，正确的是_(填序号)有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；如果ab，bc，那么ac；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小解：不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；
9、不正确，如果b为零向量，则a与c不一定平行；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小故填.类型二向量的线性运算在ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设a，b，试用a，b表示.解法一：(-)ab.解法二：由于G是ABC的中线BE与CF的交点，所以G为ABC的重心延长AG交BC于H，由重心的性质知，()ab.【点拨】(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相
10、似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解(3)在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论(1)设P是ABC所在平面内一点，2，则()A.0 B.0C.0 D.0解：如图，根据向量加法的几何意义有2P是AC的中点，故0.故选B.(2)()设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B. C. D.解：()()().故选A.类型三向量共线的充要条件及其应用已知A，B，C是平面内三个不相同的点，O是平面内任意一点，求证：向量
11、，的终点A，B，C共线的充要条件是存在实数，使得，且1.证明：(1)先证必要性若，的终点A，B，C共线，则，所以存在实数m使得m，即-m(-)，所以-m(1m).令-m，1m，则-m1m1，即存在实数，使得，且1.(2)再证充分性若，且1，则(1-)，所以-(-)，即，所以，又BC与BA有公共点B，所以A，B，C三点共线综合(1)(2)可知，原命题成立【点拨】证明三点A，B，C共线，借助向量，只需证明由这三点A，B，C所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数，使.但证明两条直线ABCD，除了证明存在一个实数，使外，还要说明两直线不重合注意：本例的结论可作定理使用(1)已知向量a，b，且
12、a2b，-5a6b，7a-2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，D解：(-5a6b)(7a-2b)2a4b2(a2b)2，所以A，B，D三点共线故选A. (2)设两个非零向量a与b不共线，若kab和akb共线，则实数k_.解：因为kab和akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即kabakb.所以(k-)a(k-1)b.因为a，b是两个不共线的非零向量，所以k-k-10，所以k2-10.所以k1.故填1.(3)如图，在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点若，则的值为()A BC D1解：由N为AM的中点，可得，整理得22，由B，M，C三
13、点共线可得221，即.故选A.1准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：(1)ab，有a与b方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|b|/ab；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a，是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的2向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行
14、某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧3向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”4平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算5对于两个向量共线定理(a(a0)与b共线存在唯一实数使得ba)中条件“a0”的理解：(1)当a0时，a与任一向量b都是共线的；(2)当a0且b
15、0时，ba是不成立的，但a与b共线因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a0.换句话说，如果不加条件“a0”，“a与b共线”是“存在唯一实数使得ba”的必要不充分条件1设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aa-b BabCa2b Dab且|a|b|解：由题意表示与向量a和向量b同向的单位向量相等，故a与b同向共线故选C.2已知向量a，b不共线，ckab(kR)，da-b.如果cd，那么()Ak1且c与d同向 Bk1且c与d反向Ck-1且c与d同向 Dk-1且c与d反向解：因为cd，所以存在实数，使得cd，即kab(a-b)，所以 解得 此时c-d.所以
16、c与d反向故选D.3已知O，A，M，B为平面上四点，且(1-)，实数(1，2)，则()A点M在线段AB上 B点B在线段AM上C点A在线段BM上 DO，A，M，B四点一定共线解：由题意得-(-)，即.又(1，2)，所以点B在线段AM上故选B.4已知O是ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且20，则()A.2 B.C.3 D2解：因为D为BC的中点，所以由20得-22，即22，所以.故选B.5设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，则与()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解：由题意得，因此(-)-，故与反向平行故选A.6在平行四边形ABCD中，点E
17、是AD的中点，BE与AC相交于点F，若mn(m，nR)，则的值为()A-2 B- C2 D.解：设a，b，则manb，-b-a，由向量与共线可知存在非零实数，使得，即manbb-a，又a与b不共线，则 消去得-2.故选A.7设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，.若12(1，2为实数)，则12的值为_解：-(-)-，因为12，所以1-，2，从而12.故填.8已知D为ABC的BC边上的中点，点P满足0，则实数的值为_解：0，则0，即，则P为以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，如图所示因此-2，则-2.故填-2.9如图，在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分别是DC和AB的
18、中点，若a，b，试用a，b表示和.解：-abab-a.-a(-b)aa-b.10设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(a-b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab与akb共线解：(1)证明：因为ab，2a8b，3(a-b)，所以2a8b3(a-b)2a8b3a-3b5(ab)5.所以，共线，又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即kabakb，所以(k-)a(k-1)b，因为a，b是不共线的两个非零向量，所以k-k-10，即k2-10，所以k1.11如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点
19、M，设a，b.试用a和b表示向量.解：因为A，M，D三点共线，所以1(1-1)1b(1-1)a，因为C，M，B三点共线，所以2(1-2)2ba，由可得 解得 故ab. 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上解：若C，D调和分割点A，B，则(R)，(R)，且2.对于选项A，若C是线段AB的中点，则0，故A选项错误；同理B选项错误；对于选项C，若C，D同时在线段AB上，则01，012，C选项错误；对于选项D，若C，D同时在线段AB的延长线上，则1，12，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确故选D.