1、33空间两点间的距离公式知识点空间两点间的距离 填一填1用公式计算空间两点的距离一般地，如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d.2空间两点间的距离公式空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离是|P1P2|.答一答1已知点P(x，y，z)，如果r为定值，那么x2y2z2r2表示什么图形？提示：由为点P到坐标原点的距离，结合x2y2z2r2知点P到原点的距离为定值|r|，因此r0时，x2y2z2r2表示以原点为球心，|r|为半径的球面；r0时，x2y2z2r2表示坐标原点2平面几何中线段的中点坐标公式可以推广到空间中吗？提示：可以空间线段的中点坐标公式可
2、以类比平面中的结论得到：已知空间中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB的中点P的坐标为(，)空间两点间的距离公式的注意点(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想(2)若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解类型一空间两点间的距离公式的应用 【例1】已知点P(1，1,2)，求：(1)P到原点O的距离；(2)P到y轴的距离；(3)P到平面xOy的距离【思路探究】(1)可直接运用两点间距离公式，(2)(3)中所求距离需要
3、转化为两点间的距离【解】(1)点P(1，1,2)到原点O的距离为d(O，P).(2)点P在y轴上的投影为Py(0，1,0)，P到y轴的距离为d(P，Py).(3)点P在平面xOy上的投影为P1(1，1,0)，P到平面xOy的距离为d(P，P1)2.规律方法 一个点到坐标轴的距离等于该点与其在这条坐标轴上的投影间的距离，一个点到坐标平面的距离等于该点与其在这个平面内的投影间的距离求以下两点间的距离(1)A(1,0，1)，B(0,1,2)；(2)A(10，1,6)，B(4,1,9)解：(1)|AB|.(2)|AB|7.类型二求点的坐标 【例2】(1)在x轴上求一点P，使它与点A(3,1，2)的距离
4、为；(2)在xOy平面内的直线xy1上确定一点M，使它到点B(1,3,1)的距离最小【思路探究】根据点的位置特征，设出其坐标，利用两点间的距离公式，结合代数知识求解【解】(1)设点P(x,0,0)由题意，得|PA|，解得x9或x3.所以点P的坐标为(9,0,0)或(3,0,0)(2)由条件，可设M(x，x1,0)，则|MB| .所以当x时，|MB|min，此时点M的坐标为.规律方法 利用两点间的距离公式确定点的坐标，若能巧妙地设出点的坐标，则坐标易求例如，在x轴上的点的坐标可设为(x,0,0)，在y轴上的点的坐标可设为(0，y,0)，在xOy平面上的点的坐标可设为(x，y,0)设点A在x轴上，
5、它到点P(0，3)的距离等于到点Q(0，1，1)的距离的两倍，那么点A的坐标是(A)A(1,0,0)或(1,0,0) B(2,0,0)或(2,0,0)C.或 D.或解析：设点A的坐标为(x,0,0)根据题意有|AP|2|AQ|，则2，解得x1，故点A的坐标为(1,0,0)或(1,0,0)类型三求空间中线段的长度 【例3】长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，D1D3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点建立如图所示空间直角坐标系(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度；(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值【思路探究】(1)D是原点，先写出A，B，B1，
6、C1的坐标，再由中点坐标公式得M，N的坐标；(2)代入公式即可；(3)设出P的坐标，得到|MP|的表达式，转化为求二次函数的最小值【解】(1)A(2,0,0)，B(2,2,0)，N是AB的中点，N(2，1,0)同理可得M(1,2,3)，又D是原点，则D(0,0,0)(2)|MD|，|MN|.(3)点P在xDy平面上，设点P的坐标为(2y，y,0)，则|MP|.y0,1，01，当y时，|MP|取最小值 ，即.|MP|的最小值为.规律方法 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，且E是棱DD1的中点
7、，求BE，A1E的长解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，得B(1,0,0)，E(0，1，)，A1(0,0,1)，所以|BE|，|A1E|.多维探究系列建立空间直角坐标系解决几何问题【例4】正方体ABCDA1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：APB1P.【思路分析】建立空间直角坐标系，利用直角三角形中两直角边互相垂直来证明【精解详析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设棱长为1，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，P(，1)，由空间两点间的距离公式得|AP|，|B1P|，|AB1|，|AP|2|B1
8、P|2|AB1|2，APB1P.【解后反思】已知立体几何中点、线、面间的位置关系及线段长度间的数量关系，判断两条相交直线或线段垂直时，可建立适当的空间直角坐标系，构造三角形，利用空间两点间的距离公式求边长，判断该三角形为直角三角形已知点A(0,1,0)、B(1,0，1)、C(2,1,1)，若点P(x,0，z)满足PAAB，PAAC，试求点P的坐标解：PAAB，PAB为直角三角形，|PB|2|PA|2|AB|2，即(x1)2(z1)2x21z2111，即xz1，又PAAC，PAC为直角三角形，|PC|2|PA|2|AC|2，即(x2)21(z1)2x21z2401，即2xz0，由得点P的坐标为P
9、(1,0,2)一、选择题1点A(1,0,1)与坐标原点O的距离是(A)A.B.C1D22已知点A(2,3,5)，B(2,1,3)，则|AB|等于(B)A. B2 C. D2解析：代入两点间的距离公式得|AB|2.3M(4，3,5)到x轴的距离为(B)A4 B. C5 D.解析：如图所示，MA平面xOy，ABx轴，则|MB|.二、填空题4在RtABC中，BAC90，已知A(2，1,1)，B(1,1,2)，C(x,0,1)，则x2.解析：|AB|2(12)2(11)2(21)22，|BC|2(x1)2(01)2(12)2x22x3，|AC|2(x2)2(01)2(11)2x24x5，根据题意，得|AB|2|AC|2|BC|2，所以2x24x5x22x3，解得x2.5已知点P在z轴上，且满足|PO|1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是或.解析：由题意得P(0,0,1)或P(0,0，1)，所以|PA|或.三、解答题6已知A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，试判断ABC的形状解：d(A，B)，d(A，C)，d(B，C).d2(A，B)d2(A，C)d2(B，C)，且d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)两两不等ABC为直角三角形