1、3空间直角坐标系31空间直角坐标系的建立32空间直角坐标系中点的坐标知识点空间直角坐标系 填一填1空间直角坐标系(1)定义：在平面直角坐标系的基础上，通过原点O，再增加一条与xOy平面垂直的z轴，这样就建立了三个维度空间的直角坐标系，其中点O叫作原点，x，y，z统称为坐标轴，由坐标轴确定的平面叫作坐标平面(2)画法：在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy135(或45)，yOz90.(3)说明：本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正向也称这个坐标系为右手系2空
2、间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中，用一个三元有序数组来刻画空间点的位置空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用一个三元有序数组(x，y，z)来表示；反之，任何一个三元有序数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，点与三元有序数组之间就建立了一一对应的关系答一答1如何确定空间直角坐标系中任一点P的坐标？提示：按照坐标的定义来确定其步骤是：过P作PCz轴于点C；过P作PM平面xOy于点M，过M作MAx轴于点A，过M作MBy轴于点B；设P(x，y，z)，则|x|OA|
3、，|y|OB|，|z|OC|.当点A，B，C分别在x，y，z轴的正半轴上时，则x，y，z的符号为正；当点A，B，C分别在x，y，z轴的负半轴上时，则x，y，z的符号为负；当A、B，C与原点重合时，x，y，z的值分别为0.2在坐标平面上或坐标轴上的点有什么特点？提示：(1)落在xOy平面上的点的z坐标为0，即(x，y,0)；落在yOz平面上的点的x坐标为0，即(0，y，z)；落在zOx平面上的点的y坐标为0，即(x,0，z)(2)x轴上的点的坐标为(x,0,0)，x为任意实数；y轴上的点的坐标为(0，y,0)，y为任意实数；z轴上的点的坐标为(0,0，z)，z为任意实数已知空间一点P(x，y，z
4、)的坐标，在坐标系中确定其位置的方法(1)垂线法：先在xOy平面内，找到点P1(x，y,0)(和在平面直角坐标系中的找法一样)，再从P1沿与z轴平行的直线上找到点P(x，y，z)(2)垂面法：分别在x轴、y轴、z轴上确定点M(x,0,0)，N(0，y,0)，Q(0,0，z)的位置，然后分别以OM，ON，OQ为棱作一个长方体，点P的位置就是体对角线OP的端点P.类型一由点的坐标确定点的位置 【例1】在空间直角坐标系中，作出点M(4，2,5)【思路探究】根据点的坐标的定义来作，要注意各坐标的符号【解】解法一：依据平移的方法，为了作出点M(4，2,5)，可以按如下步骤进行：(1)在x轴上取横坐标为4
5、的点M1；(2)将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向向左平移2个单位，得到点M2；(3)将点M2沿与z轴平行的方向向上平移5个单位，就可得到点M，如图所示解法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为4,2,5的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴的正半轴、y轴的负半轴、z轴的正半轴上，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求的点M.解法三：在x轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x轴垂直的平面；在y轴上找到纵坐标为2的点，过此点作与y轴垂直的平面；在z轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z轴垂直的平面；则平面，交于一点，此交点即为所求点M的位置规律方法 (1)若要作的点M(x0，y0，z0)的坐
6、标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可直接在坐标轴上作出此点(2)若要作的点M(x0，y0，z0)的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点(3)若要作的点M(x0，y0，z0)的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三种方法：先在x轴上取横坐标为x0的点M1；再将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向向左(y00)平移|y0|个单位，得到点M2；再将点M2沿与z轴平行的方向向上(z00)或向下(z00)平移|z0|个单位，就可得到点M(x0，y0，z0)以原点O为一个顶点，构成棱长分别为|x0|，|y0|，|z0
7、|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体与O相对的顶点即为所求的点M.先在x轴上找到点M1(x0,0,0)，过M1作x轴的垂直平面，再在y轴上找到点M2(0，y0,0)，过M2作y轴的垂直平面，在z轴上找到点M3(0,0，z0)，过M3作z轴的垂直平面，三个平面，交于一点，此交点即为所求点M.在空间直角坐标系中作出点P(3,2，4)，Q(0,1,2)解：先确定P(3,2,0)在xOy平面上的位置，因为点P的z坐标为4，且点和z轴的负半轴在xOy平面的同侧，这样就确定了点P在空间直角坐标系中的位置，同理确定点Q的位置，如图所示类型二确定点的坐标 【例2】如图，棱锥VAB
8、CD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点已知|AB|2，|VO|3，建立如图所示的空间直角坐标系，分别写出各个顶点的坐标【思路探究】由空间点的坐标的定义并结合平面中点的坐标解题【解】底面是边长为2的正方形，|CE|CF|1.O是坐标原点，点C的坐标为(1,1,0)同样的方法可以确定点B(1，1,0)，A(1，1,0)，D(1，1,0)点V在z轴上，|VO|3，点V的坐标为(0,0,3)规律方法 确定点的坐标时，最常用的方法就是求出与轴平行或重合的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行或重合的线段长度，同时要注意各点坐标的符号如图所示，在长方体ABCDABCD中，|AB|12，|AD
9、|8，|AA|5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA(不包括端点)分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标解：因为|AB|12，|AD|8，|AA|5，点A为坐标原点，且点B，D，A分别在x轴，y轴和z轴正半轴上，所以它们的坐标分别为A(0,0,0)，B(12,0,0)，D(0,8,0)，A(0,0,5)点C，B，D分别在xOy平面，xOz平面，yOz平面上，坐标分别为C(12,8,0)，B(12,0,5)，D(0,8,5)点C在三条坐标轴上的射影分别是B，D，A，故点C的坐标为(12,8,5)类型三空间点的对称问题 【例3】在平面直角坐标系
10、中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下：(1)关于原点的对称点是P(x，y)，(2)关于x轴的对称点是P(x，y)，(3)关于y轴的对称点是P(x，y)那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标：(1)关于竖轴(z轴)的对称点是P1_；(2)关于xOy坐标平面的对称点是P2_；(3)关于zOx坐标平面的对称点是P3_.【解析】(1)关于竖轴对称，则竖坐标不变，则P1为(x，y，z)；(2)关于xOy坐标平面对称，则横、纵坐标不变，则P2为(x，y，z)；(3)关于zOx坐标平面对称，则横、竖坐标不变，则P3为(x，y，z)【答案】(1)(x，y，z)(2)(x，
11、y，z)(3)(x，y，z)规律方法 记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余的相反”，如，关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数已知点P(3,2,1)，试写出满足下列条件的点的坐标(1)与点P关于坐标平面xOy对称；(2)与点P关于z轴对称；(3)与点P关于原点对称；(4)与点P关于点Q(1,1,1)对称解：(1)作出点P关于坐标平面xOy的对称点P1，则P与P1的横坐标与纵坐标相同，而竖坐标互为相反数P(3,2,1)，点P关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(3,2，1)(2)点P关于z轴的对称点P2，则
12、P2与P的竖坐标相同，而横坐标与纵坐标都分别互为相反数，则P2(3，2,1)(3)点P关于原点O(0,0,0)的对称点P3(3，2，1)(4)点P(3,2,1)关于点Q(1,1,1)的对称点P4(5，0,1)多维探究系列确定空间中一点M的坐标的方法方法一：根据空间中点的坐标的定义来确定，即过空间一点M作一个平面平行于平面yOz(即作与x轴垂直的平面)，它与x轴交点的坐标即为点M的x坐标，同样的方法，可确定点M的y坐标和z坐标，即得点M的坐标(x，y，z)方法二：过空间中一点M向坐标平面xOy作垂线，垂足为M，则M的横、纵坐标由M的横、纵坐标确定，M的竖坐标由MM的长确定(要注意MM的方向与z轴
13、的正方向的关系过M在xOy平面内分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，由OM1和OM2的长可确定点M的纵、横坐标)【例4】已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E是DD1的中点，F在AD上，且|AF|3|FD|.请根据下面不同的建系方案分别求出正方体的各顶点及点E，F的坐标方案一：分别以射线AB、射线AD、射线AA1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系方案二：以底面ABCD的中心O为原点，分别以射线AB，BC，BB1的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系【精解详析】方案一：如图1，易知A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
14、A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(2,2,2)，D1(0,2,2)设H为AD的中点，由中点坐标公式可知，H(0,1,0)，因为|AF|3|FD|，所以F为HD的中点，由中点坐标公式可知F，而E为DD1的中点，所以E(0,2,1)方案二：如图2，易知A(1，1,0)，B(1，1,0)，C(1,1,0)，D(1,1,0)，A1(1，1,2)，B1(1，1,2)，C1(1,1,2)，D1(1,1,2)图1图2设H为AD的中点，由中点坐标公式可知，H(1,0,0)，因为|AF|3|FD|，所以F为HD的中点，由中点坐标公式可知，F(1，0)，而E为DD1的中点，所以E(1,1,1)如图点A
15、(0,0，a)，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E，F分别是AC，AD的中点，求D，C，E，F这四点的坐标解：点A(0,0，a)，ABa，又AB平面BCD，ADB30，BDa，又BCCD，BCD90，BCCDa，C到x轴，y轴距离均为a，又由E，F分别是AC，AD的中点，D点坐标为(0，a,0)，C点坐标为(a，a,0)，E点坐标为(a，a，a)，F点坐标为(0，a，a)一、选择题1下面表示空间直角坐标系的直观图中，是右手系的个数是(C)A0B1C2 D3解析：从z轴正方向看，x轴正半轴逆时针方向旋转90与y轴正半轴重合，符合2点P(2,0,3)在空间直角
16、坐标系中的位置在(C)Ay轴上 BxOy平面上CxOz平面上 DyOz平面上解析：因为y坐标为0，所以点P在xOz平面上3已知点A(1,1,1)，则点A关于原点对称的点坐标为(A)A(1，1，1) B(1,1，1)C(1，1,1) D(1，1，1)解析：关于原点对称的点，其横、纵、竖坐标都变为原来的相反数二、填空题4点M(1，4,3)关于点P(4,0，3)的对称点M的坐标是(7,4，9)解析：线段MM的中点是点P，所以M(7,4，9)5在空间直角坐标系中，已知点P(1，)，过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标为(0，)解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上的点Q的横坐标为0，纵坐标、竖坐标分别等于点P的纵坐标、竖坐标，垂足Q的坐标为(0，)三、解答题6在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，已知B1的坐标为(a，a，a)，试写出其余各顶点的坐标解：由B1的坐标可知，以顶点D为原点，以棱DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，由正方体棱长为a可得D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0，0，a)