1、第二章函数的概念、基本初等函数()及函数的应用1.函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质2指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，的指数函数的图象(4
2、)体会指数函数是一类重要的函数模型3对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象(3)体会对数函数是一类重要的函数模型(4)了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数4幂函数(1)了解幂函数的概念(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况5函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数6函数模型及其应用(
3、1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用21函数及其表示1函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个_，记作yf(x)，xA，其中，x叫做 ，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做 ，其集合f(x)|xA叫做函数的 2函数的表示方法(1)解析法：就是用 表示两个变量之间的对
4、应关系的方法(2)图象法：就是用 表示两个变量之间的对应关系的方法(3)列表法：就是 来表示两个变量之间的对应关系的方法3构成函数的三要素(1)函数的三要素是： ， ， .(2)两个函数相等：如果两个函数的相同，并且完全一致，则称这两个函数相等4分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数5映射的概念一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的 元素x，在集合B中都有 元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射6映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)
5、的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_(2)区别：函数是从非空数集A到非空数集B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集自查自纠1唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格3(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系5任意一个唯一确定的6(1)映射 ()函数f(x)lg的定义域为()A(2，3) B(2，4C(2，3)(3，4 D(-1，3)(3，6解：依题意有4-|x|0，解得-4x4，由0，解得x2且x3，由求交集得函数的定义域为(2，3)(3，4故选C. 下列各图表示两个变量x，y的对应关系，则下列判断正确的是()A都表示映射，都表示y是x的
6、函数B仅表示y是x的函数C仅表示y是x的函数D都不能表示y是x的函数解：根据映射的定义，中，x与y的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，是映射，是函数关系故选C. ()设函数f(x) 则f(-2)f(log212)()A3 B6 C9 D12解：由条件得f(-2)1log243，因为log2121，所以f(log212)2(log212)-12log266，故f(-2)f(log212)9.故选C. ()已知函数f(x) 则f(f(-3)_，f(x)的最小值是_解：f(f(-3)f(1)0.当x1时，f(x)x-32-3，当且仅当x时取等号；当x1时，f(x)lg(x21)lg10，当且仅当
7、x0时取等号所以f(x)的最小值为2-3. 故填0；2-3. ()若函数f(x) (a0，且a1)的值域是类型一函数和映射的定义下列对应是集合P上的函数的是_(填序号)PZ，QN*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；P-1，1，-2，2，Q1，4，对应关系f：xyx2，xP，yQ；P三角形，Qx|x0，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应解：由于中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，而中集合P不是数集，所以和都不是集合P上的函数由题意知，正确故填.【点拨】函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：定义域和对应关系是否给出
8、；根据给出的对应关系，自变量x在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值y与之对应；集合P，Q是否为非空数集给出下列四个对应：AR，BR，对应关系f：xy，y；A，B，对应关系f：ab，b；Ax|x0，BR，对应关系f：xy，y2x；Ax|x是平面内的矩形，By|y是平面内的圆，对应关系f：每一个矩形都对应它的外接圆其中是从A到B的映射的为_(填序号)解：对于，当x-1时，y值不存在，所以不是从A到B的映射；对于，A，B两个集合分别用列举法表述为A2，4，6，B，由对应关系f：ab，b知，是从A到B的映射；不是从A到B的映射，如A中元素1对应B中两个元素1；是从A到B的映射故填.类型二判断
9、两个函数是否相等已知函数f(x)|x-1|，则下列函数中与f(x)相等的函数是()Ag(x) Bg(x)Cg(x) Dg(x)x-1解：因为g(x) 与f(x)的定义域和对应关系完全一致，故选B.【点拨】两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)|x|，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)，g(x)解：A中，g(x)|x|，所以f(x)g(x)B
10、中，f(x)|x|，g(x)x(x0)，所以两函数的定义域不同C中，f(x)x1(x1)，g(x)x1，所以两函数的定义域不同D中，f(x)(x10且x-10)，f(x)的定义域为x|x1；g(x)(x2-10)，g(x)的定义域为x|x1或x-1所以两函数的定义域不同故选A.类型三求函数的定义域(1)()函数y的定义域是_解：要使函数有意义，必须3-2x-x20，即x22x-30，所以-3x1.故填(2)若函数yf(x)的定义域为，2)故填(-2，-，2)【点拨】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的
11、实数的集合；当函数yf(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集常见的条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等若已知函数yf(x)的定义域为，则函数yf(g(x)的定义域由不等式ag(x)b解出(1)函数f(x)ln的定义域为_解：由条件知x(0，1故填(0，1(2)已知f(2x)的定义域是，则f(log2x)的定义域为_解：由已知x，所以2x，故f(x)的定义域为，所以在函数yf(log2x)中，log2x2，即log2log2xlog24，所以x4，故f(log2x)的定义域为，4故填，4类型四
12、求函数的值域求下列函数的值域：(1)y； (2)y2x；(3)y2x； (4)y；(5)若x，y满足3x22y26x，求函数zx2y2的值域；(6)f(x)-.解：(1)解法一：(反解)由y，解得x2，因为x20，所以0，解得-1y1，所以函数值域为(-1，1解法二：(分离常数法)因为y-1，又因为1x21，所以02，所以-1-11，所以函数的值域为(-1，1(2)(代数换元法)令t(t0)，所以x1-t2，所以y2(1-t2)t-2t2t2-2.因为t0，所以y，故函数的值域为.(3)(三角换元法)令xcost(0t)，所以y2costsintsin(t)(其中cos，sin)因为0t，所以
13、t，所以sin()sin(t)1.故函数的值域为(4)解法一：(不等式法)因为y(x-1)，又因为x1时，x-10，x1时，x-10，所以当x1时，y(x-1)24，且当x3，等号成立；当x0恒成立，所以函数的定义域为R.由y，得(y-2)x2(y1)xy-20.当y-20，即y2时，上式化为3x00，所以x0R.当y-20，即y2时，因为当xR时，方程(y-2)x2(y1)xy-20恒有实根，所以(y1)2-4(y-2)20，所以1y5且y2.故函数的值域为故填(4)()设O为坐标原点，给定一个定点A(4，3)，点B(x，0)在x轴的正半轴上移动l(x)表示的长，则函数y的值域为_解：依题意
14、有x0，l(x)，所以y.由于1-25，所以，故0y.即函数y的值域是.故填.类型五求函数的解析式根据要求求函数的解析式：(1)()定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1-x)，则当-1x0时，f(x)_.(2)已知f(x)是一次函数，并且f(f(x)4x3，求f(x)(3)()已知f，求f(x)(4)已知fx2-3，求f(x)解：(1)当-1x0时，有0x11，故f(x1)(x1)-x(x1)，又f(x1)2f(x)，故f(x)f(x1)-.所以当-1x0时，f(x)-.故填-.(2)设f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(axb)a(axb)ba2
15、xabb4x3，所以解得或故所求的函数为f(x)2x1或f(x)-2x-3.(3)设t，由此得x(t-1)，则f(t)，故f(x)的解析式为f(x)(x-1)(4)因为fx2-3-5，而x2或x-2，所以f(x)x2-5(x2或x-2)【点拨】由yf(g(x)的解析式求函数yf(x)的解析式，应根据条件，采取不同的方法：若函数g(x)的类型已知，则用待定系数法；已知f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围；函数方程法(即解方程组法)，将f(x)作为一个“未知数”，建立方程(组)，消去另外的“未知数”，便得到f(x)的解析式，含f或f(-x)的类型常用此法求下列各题中函数f(x
16、)的解析式(1)已知f(2)x4，求f(x)；(2)已知flgx，求f(x)；(3)已知函数yf(x)满足2f(x)f2x，xR且x0，求f(x)；(4)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)解：(1)解法一：设t2(t2)，则t-2，即x(t-2)2，所以f(t)(t-2)24(t-2)t2-4，所以f(x)x2-4(x2)解法二：因为f(2)(2)2-4，所以f(x)x2-4(x2)(2)设t1，由于x0，所以t1，则x，所以f(t)lg，即f(x)lg(x1)(3)由2f(x)f2x，将x换成，则换成x，得2ff(x)，2-，得3f(x)4x-，得f
17、(x)x-.(4)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)由f(0)1，得c1.由f(x1)f(x)2x，得a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，整理得(2a-2)xab0，由x的任意性知 解得 所以f(x)x2-x1.类型六分段函数(1)()定义在R上的函数f(x)满足f(x) 则f(3)的值为()A1 B2 C-2 D-3(2)()设f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为()A BC D(3)设函数f(x)若f(f(a)2，则a_.解：(1)f(3)f(2)-f(1)f(1)-f(0)-f(1)-f(0)-log28-3.故选D.(2)因为当x0时
18、，f(x)(x-a)2，又f(0)是f(x)的最小值，所以a0；当x0时，f(x)xa2a，当且仅当x1时取“”要满足f(0)是f(x)的最小值，须2af(0)a2，即a2-a-20，解之得-1a2，所以a的取值范围是故选D.(3)当a0时，f(a)-a20，f(f(a)a4-2a222，解得a(a0与a-舍去)当a0时，f(a)a22a2(a1)210，f(f(a)-(a22a2)22，此方程无解故填.【点拨】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如f(f(x0)的求值问题时，应从内到外依次求值(2)求某条件下自变量的值，先假设所求
19、的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围(1)()函数f(x) 则f(f(-2)_.(2)已知函数f(x) 则f(log32)的值为_(3)()设函数f(x) 则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A. BC. D(表示不大于x的最大整数)可以表示为()Ay ByCy Dy解法一：特殊值法，若x56，则y5，排除C，D；若x57，则y6，排除A，故B正确解法二：设x10m(09，m，N)，当06时，m，当6-且x1.故选D.3函数f(x) 若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为()A1B1，-C- D1，
20、解：f(1)1，当a0时，f(a)ea-1，所以1ea-12，所以a1；当-1a0时，f(a)sin(a2)，所以1sin(a2)2，所以a22k(kZ)，因为-1a0，所以a-.故选B.4()存在函数f(x)满足：对于任意xR都有()Af(sin2x)sinx Bf(sin2x)x2xCf(x21)|x1| Df(x22x)|x1|解：选项A中：取x0，可得f(0)0且f(0)1，这与函数定义矛盾，错误；选项B中：取x0，可得f(0)0且f(0)，这与函数定义矛盾，错误；选项C中：取x1，-1，可得f(2)2且f(2)0，这与函数定义矛盾，错误；选项D中，取f(x)，那么有f(x22x)|x
21、1|对任意xR成立故选D.5()若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”例如解析式为y2x21，值域为9的“孪生函数”有三个：(1)y2x21，x-2；(2)y2x21，x2；(3)y2x21，x-2，2那么函数解析式为y2x21，值域为1，5的“孪生函数”共有()A5个 B4个 C3个 D2个解：由题意，当函数值为1时，x0；当函数值为5时，x，故符合条件的定义域有0，0，-，0，-所以函数解析式为y2x21，值域为1，5的“孪生函数”共有3个故选C.6已知函数f(x)的值域是，则实数a的取值范围是()A(-，-3 B D-3解：当0x4时，f(x)；当a
22、x0时，f(x)，所以，-8-1，即-3a0.故选B.7已知f(1)x2，则f(x)_.解：设1t(t1)，则t-1，代入f(1)x2，得f(t)t2-1(t1)，所以f(x)x2-1(x1)故填x2-1(x1)8()已知函数f(x)sinx，则f(-2)f(-1)f(0)f(1)f(2)_.解：因为f(x)f(-x)sinx-sinx2，且f(0)1，所以f(-2)f(-1)f(0)f(1)f(2)5.故填5.9函数f(x)x2x-.(1)若函数f(x)的定义域为，求f(x)的值域；(2)若f(x)的值域为，且定义域为，求b-a的最大值解：因为f(x)-，所以其图象的对称轴为x-.(1)因为
23、3x0-，所以f(x)的值域为，即.(2)因为x-时，f(x)-是f(x)的最小值，所以x-，令x2x-，得x1-，x2，根据f(x)的图象知当a-，b时，b-a取最大值-.10行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/小时)满足下列关系：ymxn(m，n是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/小时)的关系图(1)求出y关于x的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度解：(1)由题意及函数图象，得 解得m，n0，所以y (x0)(2)令25.2，得-72x70.因为x0，所以0x70.故行驶的最大速度是70千米/小时 ()已知映射f：P(m，n)P(，)(m0，n0)设点A(1，3)，B(2，2)，点M是线段AB上一动点，f：MM.当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M所经过的路线长度为()A.B.C.D.解： 因为点A(1，3)，B(2，2)，所以线段AB的方程为xy4(1x2)设M(x，y)，则M(x2，y2)，又因为点M是线段AB上一动点，所以x2y24(1x)，所以点M的对应点M的轨迹是一段圆弧，且该圆弧所对圆心角为-，所以点M的对应点M所经过的路线长度为2.故选B.
