1、5.3等比数列5.3.1等比数列第1课时等比数列的定义学 习 任 务核 心 素 养1理解等比数列的定义(重点)2掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点)3熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)1通过等比数列概念的学习，培养数学抽象的素养2借助等比数列的通项公式及其应用的学习，培养数学运算的素养有人说过：你如果能将一张纸对折42次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球(假设纸的厚度为0.1 mm)这个实例所包含的数学问题，用数字反应如下：1，2，4，8，16，32，64，128，问题：该组数字的后一项与前一项存在怎样的等量关系？是什么数列？提示从第2项起，后一项是前一项的2倍；等比数列知识点1等比数
2、列的概念一般地，如果数列an从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即q恒成立，则称数列an为等比数列，其中q称为等比数列的公比1在等比数列an中，某一项可以为0吗？提示一定不能为0拓展：对等比数列的定义的理解(1)“从第2项起”有两层含义，第一层是第一项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项(2)“每一项与前一项的比”意思也有两层，第一层指相邻的两项之间，第二层指后项与前项的比(3)判断一个数列是否为等比数列，主要是利用等比数列的定义，即验证其通项是否满足q(q为非零常数)或q(q为非零常数，n2)(4)对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列，各项都
3、不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列因此，常数列必是等差数列，却不一定是等比数列1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若an1qan，nN*且q0，则an是等比数列()(2)常数列一定是等比数列()(3)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列()答案(1)(2)(3)知识点2等比数列的通项公式及其推广若等比数列an的首项为a1，公比为q，则其通项公式ana1qn1，该式可推广为anamqnm，其中n，mN*2等比数列通项公式ana1qn1是关于n的指数型函数吗？提示不一定如当q1时，an是关于n的常数函数2(1)已知an是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为()Aa
4、n23n1Ban32n1Can23n1Dan32n1(2)已知an是等比数列，a22，a5，则公比q_(1)C(2)(1)由已知可得a12，q3，则数列an的通项公式为ana1qn123n1(2)法一：a2a1q2，a5a1q4，得：q3，q法二：a5a2q3，q3q知识点3等比数列的单调性等比数列an的首项为a1，公比为q(1)当q1，a10或0q1，a11，a10或0q0时，数列为递减数列；(3)当q1时，数列为常数列；(4)当q0时，数列为摆动数列3已知等比数列an为递增数列，且aa10，2(anan2)5an1，则数列an的通项公式为_an2n设数列an的公比为qaa10，2(anan
5、2)5an1，或又数列an为递增数列，a1q2，an2n 类型1等比数列基本量的求解【例1】在等比数列an中(1)a42，a78，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求n；(3)a32，a2a4，求an解(1)法一：由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，ana1qn12法二：a7a4q3，q34，qana4qn424222(2)法一：由得q，从而a132，又an1，321，即26n20，n6法二：a3a6q(a2a5)，q由a1qa1q418，知a132由ana1qn11，知n6(3)设等比数列an的公比为q，则q0a2，a4a3q2q，2q，解得q1，q23当q时，a118
6、，an18233n当q3时，a1，an3n123n3综上，当q时，an233n；当q3时，an23n3a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程(组)，求出a1和q.跟进训练1(多选题)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自庄子天下篇，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则()Aa6B8Ca5a6Da1a2a6BD依题意可知，a1，a2，a3，成等比数列，且首项与公比均为，则a6，8，a5
7、a6，a1a2a6故选BD 类型2等比数列的判定与证明【例2】(对接教材P31例3)已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1)(nN)(1)求a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列解(1)由S1(a11)，得a1(a11)，a1又S2(a21)，即a1a2(a21)，得a2(2)证明：当n2时，anSnSn1(an1)(an11)，得又a1，所以数列an是首项为，公比为的等比数列1已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解2判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：定义法：q(q为常数且不为零)an为等比数列通项公式法：ana1qn1(a10且q0)an为等
8、比数列构造法：在条件中出现an1kanb关系时，往往构造数列，方法是把an1xk(anx)与an1kanb对照，求出x即可跟进训练2已知数列an的前n项和Sn2an1，求证an是等比数列，并求出通项公式证明Sn2an1，Sn12an11an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an，an12an，又S12a11a1，a110又由an12an知an0，2，an是等比数列an12n12n1 类型3构造等比数列求数列的通项公式1如何证明数列an是等比数列？提示只需证明q，(q0)即可2如何证明数列an1是等比数列？提示只需证明q，(q0)即可【例3】已知数列an满足a11，an12an1(
9、1)证明：数列an1是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：an12an1，an112an22(an1)，又a11，故an10，2数列an1是等比数列(2)由(1)可知an1是以a112为首项，2为公比的等比数列an122n12n，即an2n1由递推关系an1AanB(A，B为常数，且A0，A1)求an时，由待定系数法设an1A(an)可得，这样就构造了等比数列an.跟进训练3在数列an中，a11，an1，bn，求数列bn的通项公式解an122，2，即bn14bn2，bn14又a11，故b11，所以是首项为，公比为4的等比数列，所以bn4n1，bn1在等比数列an中，a18，a46
10、4，则a3等于()A16B16或16C32D32或32C由a4a1q3，得q38，即q2，所以a3a1q284322若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为()A4B6C5D32B由等比数列的通项公式，得12842n1，2n132，所以n63在等比数列an中，若a218，a48，则公比q_由题意可知q2，即q4已知数列an满足，且a22，则a4_11，2，数列an1是公比q2的等比数列，224，即4，a413412，a411回顾本节知识，自我完成以下问题：1你对等比数列是如何理解的？提示(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列2如何理解等比数列的通项公式？提示(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列(2)在公式ana1qn1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量(3)在公式anamqnm中，体现了已知任意两项便可求公比q，即可求任意一项的思想