1、高二年级期末考试数学试题一单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得；【详解】解：由，即，解得，所以，又，所以，所以；故选：B2. 设命题甲：，命题乙：直线与直线平行，则（ ）A. 甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的性质进行求解即可.【详解】当时，直线的方程为，直线方程
2、为，此时，直线与直线平行，即甲乙；直线和直线 平行，则，解得或，即乙甲；则甲是乙的充分不必要条件.故选：.3. 已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意是首项为2、公比为的等比数列，利用等比数列前n项和公式求的值.【详解】由题设是首项为2、公比为的等比数列，即，所以.故选：C4. 从中任取2个不同的数，则的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】列举从中任取2个不同的数的所有结果，共6个基本事件，符合条件的共2个基本事件，结合古典概型计算结果【详解】从中任取2个不同的数，共有个基本事件，取出的2个数之差的绝对值
3、为4有个基本事件，所以所求概率为故选：B5. 已知P是圆上的动点，则的面积的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由AB的坐标可得直线AB的方程以及的值，由圆的方程分析圆心与半径，求出圆心到直线AB的距离，分析可得圆上的动点P到直线AB的距离最大值，由三角形面积公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，点，则直线AB的方程为，即，且圆，即，其圆心为，半径，所以圆心到直线AB距离则圆上的动点P到直线AB的距离最大值为，面积的最大值；故选：C.6. 的展开式中的系数为（ ）A. 88B. 104C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求、的二项式展开式通项
4、、，可得原式的通项，结合指定项的指数值求m、n，进而求该项的系数.【详解】由题设，的通项为，的通项为；原多项式的展开式通项可写为，可得或或，的系数为.故选：D.【点睛】关键点点睛：将原式分成两个二项式分别求通项，结合指定项未知数的指数值求参数，进而求该项的系数.7. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，可令，化简得，令，然后做出的图象，即可判断的范围【详解】由已知，令，可得，当时，方程无解，所以，可得，令，当时，单增，当时，单减，当时，单减作出的图象，因为函数有两个极值点，即方程有两个变号的实根，即与有两个交点，所以，由图可得
5、，故选：B8. 在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x24y，圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（ ）A. （2，）B. （1，）C. D. 1，）【答案】A【解析】【分析】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，求出，当的最小值在原点处取得时，圆过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点【详解】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，若的最小值不在处取得，则圆不过原点，所以，即，此时圆半径为因此当时，圆无法触及抛物线的顶点故选：A二多
6、项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项待合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知数列的前项和为，则下列选项中正确的是（ ）A. B. C. 数列是等比数列D. 数列的前项和为【答案】ACD【解析】【分析】根据转化到，进而可知数列是以为首项，公比为的等比数列，并写出通项公式及求和公式，即可判断选项正误.【详解】解：，两式作差得：，即，.数列是以为首项，公比为的等比数列，则，.由上述内容可知，选项A，C正确.当时，则选项B错误.，数列是首项为的等比数列.则数列的前项和为，则选项D正确.故选：ACD.10. 下列命题中，正确
7、命题的序号为（ ）A. 已知随机变量服从二项分布，若，则B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C. 设随机变量服从正态分布，若，则D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，且，则当时概率最大【答案】BCD【解析】【分析】对A：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对B：根据方差公式可知方差恒不变；对C：根据正态分布的对称性即可求解；对D：根据二项分布概率的性质求解即可判断.【详解】解：对A：因为随机变量服从二项分布，所以，解得，故选项A错误；对B：根据方差公式，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故选项B正确；对C：因为随机变量服从
8、正态分布，由，可得，利用正态分布的对称性可得，故选项C正确；对D：因为在10次射击中，击中目标的次数满足，所以对应的概率，当，时，令，解得，因为时，所以当时，概率最大，故选项D正确.故选：BCD.11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（ ）A. |PQ|的最大值为 B. 为定值C. 椭圆上不存在点M，使得D. 若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为【答案】BD【解析】【分析】A. 由|PQ|的最大值为长轴长判断；B.由椭圆的定义判断；C.由判断；D.分别求得P，Q到直线AB的距离最大值判断.【详解】如
9、图所示：A. |PQ|的最大值为长轴长2 ，故错误；B. 易知是平行四边形，则，因为，所以，故正确；C.因为，所以，则，故椭圆上存在点M，使得，故错误；D.直线AB所在直线方程为：，即，设，则点P到直线AB的距离为，其最大值为，同理点Q到直线AB的最大值为，所以四边形APBQ面积的最大值为，故正确.故选：BD12. 如图，正方形ABCD-A1B1C1D1边长为1，P是 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A. BP的最小值为B. 的最小值为C. 当P在直线上运动时，三棱锥 的体积不变D. 以点B为球心，为半径的球面与面 的交线长为【答案】ACD【解析】【分析】当时，BP最小,结合正三角形性质
10、，求得B到直线的距离，判断A;建立空间直角坐标系，利用空间向量，设求得点，结合两点间的距离公式，求得PA+PC的最小值，判断B;根据当P在直线A1D上运动时，三棱锥的底面积以及高的变化情况，可确定体积不变没判断C;根据题意确定以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可求得交线长，判断D.【详解】对于A，当时，BP最小，由于到直线距离对对于B,解法一：以为坐标原点建系，以 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,设,表示平面上之间的距离，表示平面上之间的距离，错解法二：将平面翻折到平面上，如图，连接AC，与的交点即为点P，此时取最小值AC，在三角形ADC中，,，B错误；对于C,平
11、面，平面到平面的距离为定值,为定值，则为定值，对对于D，由于平面，设与平面交于点，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，在以为圆心，为半径的圆上，由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，交线长为正确故选：ACD【点睛】本题考查了空间几何中的距离以及距离和的最值问题，以及三棱锥体积和几何体中的轨迹问题，综合性强，要求充分发挥空间想象能力，解答时要能借助于几何体的直观图，明确空间的点线面的位置关系，灵活应用空间向量以及相关相关知识解决问题.三填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知p：“”为真命题，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析
12、】【分析】根据条件将问题转化不等式在上有解，则，由此求解出的取值范围.【详解】因为“”为真命题，所以不等式在上有解，所以，所以，故答案为：.14. 将（1x）n（nN*）的展开式中x2的系数记为，则_【答案】【解析】【分析】由二项式的展开式的通项为：可得，则，利用裂项求和即可求得结果.【详解】解：二项式的展开式的通项为：令可得，故答案为：.15. 柜子里有4双不同的鞋，随机的取两只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为_【答案】【解析】【分析】先求出取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的总数，再求出随机的取两只的总数，再利用古典概型的概率公式求解.【详解】解：
13、由题意：可以先选出左脚的一只有种选法，然后从剩下的3双的右脚中选出一只有种选法，所以一共有种不同的取法；又因为柜子里有只不同的鞋，随机选出两只，一共有种选法，所以概率为.故答案为：16. 关于不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是_【答案】#【解析】【分析】根据题意，构造函数，通过讨论的范围可得函数的单调性，再结合图像与已知条件即可求解.【详解】当时，原不等式不成立；当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.令，则，因此函数在区间上单调递减，易得不可能只有一个整数解，故不满足；当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.由可知，易得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故.又因，且恰有一个整
14、数解，所以，即.综上，.故答案为：.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理四解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤）17. 已知各项都为正数的数列满足， .（1）若，求证：是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义,利用以及,即可得到,即可证明.（2）根据分组求和和等比数列求和公式即可求解.【小问1详解】因为 所以， 因为所以 所以 所以
15、所以是首项和公比均为的等比数列.【小问2详解】由（1）易得： 因为所以 所以 18. 如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且，M，N，P，D分别为，BC，的中点.（1）求证：面；（2）求平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）解法一，建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，确定平面的一个法向量，计算，即可证明；解法二，证明平面平面，利用面面平行的性质定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，确定平面的一个法向量，求出平面PMN的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】解法一：以点A为坐标原点，ABAC所在直线分别为xyz
16、轴建立空间直角坐标系，则，.取向量为平面的一个法向量，.又平面，平面.解法二：P，D分别为，的中点，且平面，平面，平面，D，N分别为，BC的中点，且平面，平面，平面，又，平面平面，又平面PDN，平面.【小问2详解】以点A为坐标原点，ABAC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，.，,取向量为平面的一个法向量，设平面PMN的法向量为，则，即，令，则，则，由图示可知平面PMN与平面的夹角为锐角，平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值为.19. 不等式对一切实数x恒成立k的取值集合为A，集合（1）求集合A；（2）若_，求实数m的取值范围.在“”是“”的充分条件；“”是“”的必要条件这两个条
17、件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种情况解答给分【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）当时，显然成立；当时由求解即可；（2）由题设得，即在上恒成立，由解出m的取值范围即可.【小问1详解】当时，显然恒成立，当时不等式对一切实数x都成立，则，解得，综上可得；【小问2详解】选都有又，即在上恒成立，令，则，解得，所以m的取值范围为；20. 击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件);另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁
18、手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x与组内女性人数y统计结果如表: .x12345y22344（1）女性人数与组号x (组号变量x依次为1， 2， 3， 4， 5， . )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数;（参考公式：）（2）在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X组，求X的分布列与期望.【答案】（1）预测从第7组开始女性人数不低于男性人数 （2）分布列见解析，1.【解析】【分析】（1）根据题意，结合已知公式得，再解即可估计得答案；（2）根据题意得的所有可能取值为0，
19、1，2，3，再根据超几何分布求解即可.【小问1详解】解：由题可得，则 所以当时，所以预测从第7组开始女性人数不低于男性人数【小问2详解】解：由题可知的所有可能取值为0，1，2，3， 则的分布列为X0123P21. 已知双曲线C：(a0，b0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点（1）求双曲线C的方程；（2）直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：MON的面积为定值，并求出该定值【答案】（1）； （2）证明见解析，【解析】【分析】(1)由双曲线的一个焦点坐标为可求c，根据一条渐近
20、线的倾斜角的正切值为可求，结合a、b、c的关系求解、得到双曲线方程；(2)设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求出k与m的关系联立l与渐近线方程求出M和N的坐标，通过，化简即可【小问1详解】由题可知，解得，则：；【小问2详解】由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，令，则，则联立得，则，即双曲线两条渐近线方程为，联立得，联立得，故的面积为定值22. 已知函数.（1）若有两个零点，的取值范围；（2）若方程有两个实根、，且，证明：.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可知，由参变量分离法可知直线与函数的图象有两个交
21、点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；（2）令，其中，令，分析可知关于的方程也有两个实根、，且，设，将所求不等式等价变形为，令，即证，令，其中，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立.【小问1详解】解：函数的定义域为.当时，函数无零点，不合乎题意，所以，由可得，构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，由可得，列表如下：增极大值减所以，函数的极大值为，如下图所示：且当时，由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，故实数的取值范围是.【小问2详解】证明：因为，则，令，其中，则有，所以，函数在上单调递增，因为方程有两个实根、，令，则关于的方程也有两个实根、，且，要证，即证，即证，即证，由已知，所以，整理可得，不妨设，即证，即证，令，即证，其中，构造函数，其中，所以，函数在上单调递增，当时，故原不等式成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数
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