1、四川省泸县第一中学2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）A. -4B. -1C. 1D. 4【答案】D【解析】试题分析：因为是纯虚数，所以，所以，故选D考点：1
2、、复数的概率；2、复数的运算2.已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，故选.3.“”是“直线与圆相切”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简直线与圆相切，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线与圆相切，所以.所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知点 P(3,4) 在角的终边上，则的值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函
3、数的定义即可求出答案.【详解】因为点 P(3,4) 在角的终边上,所以,故选:D【点睛】本题考查了三角函数的定义,三角函数诱导公式,属于基础题.5.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为从中取3次，为取得次品的次数，则,选择D答案【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题6.设，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D
4、. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：设在上恒成立，由，故选C.考点：实数的大小比较7.的展开式中常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】展开式的，1，的通项公式：，令，进而得出【详解】解：展开式的，1，的通项公式：，令，可得：时，；时，时，展开式中常数项故选：【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.某宾馆安排五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种A. 64B. 84C. 114D. 144【答案】C【解析】试题分析：5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（
5、2，2，1）两种，计算出每一种的，再排除A、B住同一房间，问题得以解决详解：5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（2，2，1）两种，当为（3，1，1）时，有C53A33=60种，A、B住同一房间有C31A33=18种，故有6018=42种，当为（2，2，1）时，有A33=90种，A、B住同一房间有C31C32A22=18种，故有9018=72种，根据分类计数原理共有42+72=114种，故选C点睛：本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有
6、限制条件的元素,高考中常见的排列组合问题还有分组分配问题，即不同元素分到不同组内时，通常先分组后分配.9.已知a，b为正实数，向量=（a，a-4）向量=（b，1-b）若，则a+b的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】根据即可得出a（1b）b（a4）0，整理即可得出，并且a，b都是正数，从而，根据基本不等式即可得出，从而得出a+b的最小值【详解】；a（1-b）-b（a-4）=0；a+4b=2ab；，且a，b为正实数； ，当且仅当时取“=”；a+b的最小值为故选D【点睛】考查平行向量的坐标关系，根据基本不等式求最值的方法10.若是函数的极值点，则的极大值为（ ）A.
7、 B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】因为是函数的极值点，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极大值 故选D11.在中，角、所对的边分别为、，若，且，则下列关系一定不成立的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理，得，由正弦定理，得，或当时，为直角三角形，且，所以C，D可能成立；当时，所以，即A可能成立，因此一定不成立的是选项B考点：正弦定理与余弦定理的应用12.设函数，若时，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意变形整理为，设，利用导数求在上的最小值，求解即可.【详解】时，即，对成立.令，则令，
8、即，解得.令，即，解得在上是减函数，在上是增函数.故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数最值，求参数的取值范围，属于难题.第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表：使用年限（单位：年）维修费用（单位：万元）根据上表可得回归直线方程为，据此模型预测，若使用年限为年，估计维修费约为_万元【答案】【解析】【详解】，则中心点为，代入回归直线方程可得，.当时，（万元），即估计使用14年时，维修费用是18万元.故答案为：18.14.若一个样本空间，令事件，则_ 【答案】【解析】【分析】根据题意，利用古典概型概率公
9、式求出事件，发生的概率；利用条件概率公式求出【详解】解：因为，令事件，则， 所以，由条件概率公式得故答案为：【点睛】本题考查古典概型概率公式、条件概率公式，考查学生的计算能力，属于基础题15.已知集合M(x，y) ，则在集合M中任取一点P，则点P到直线xy0的距离不小于的概率为_【答案】【解析】依题意，设P(x，y)，则，故xy1或xy1，故形成的区域如图阴影部分所示，故所求概率P.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小
10、会在可行域的端点或边界上取得.16.设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则此抛物线的方程为_【答案】【解析】【分析】根据抛物线定义可得，是等边三角形，由的面积为可得从而得进而可得结果.【详解】因为以为圆心，为半径的圆交于两点，由抛物线的定义可得，是等边三角形，的面积为，到准线的距离为此抛物线的方程为，故答案为.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程、定义和几何性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上
11、的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.三解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（490，495，（495，500，（500，505，（505，510，（510，515）（1）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克 的产品数量，求随机变量X的分布列；（2）若将该群体分别近似看作总
12、体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率【答案】（1）见解析；（2）0.3087【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可求得质量超过505克的产品数量为12，然后根据超几何分布求出对应随机变量的概率，从而求出分布列；（2）由已知得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，然后按照二项分布的概率计算即可求解【详解】（1）根据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品数量为由题意得随机变量X的所有可能取值为0，1，2，随机变量X的分布列为X012P（2）由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3设Y为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品
13、数量，则故所求概率为18.已知函数，（1）求函数的单调区间;（2）求函数的极值.【答案】（1）当时，在递增；当时，在递增，在递减；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，对函数求导后，对进行分类讨论，解含参不等式得到函数的单调区间；（2）利用（1）的结果，得到函数的图象特征，进而计算函数的极值【详解】（1）函数的定义域为，因为，当时，在恒成立，所以的单调递增区间是，当时，所以的单调递增区间是，所以的单调递减区间是（2）由（1）得：当时，的单调递增区间是，所以无极值，当时，的极小值为，无极大值【点睛】函数与导数问题中，要注意定义域优先法则的应用，同时在分进行分类讨论时，要对简单的情
14、况先讨论，拿到基本分，再去讨论复杂的情况.19.如图，在三棱柱中，侧面底面，四边形为菱形，是边长为2的等边三角形，点为的中点.（1）若平面与平面交于直线，求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1) 证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）由条件有平面，根据线面平行的性质可证.（2）先证明平面 ，然后建议空间直角坐标系，用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1） 证明：在三棱柱中，平面 .所以平面，且平面平面平面所以，所以.（2）由四边形为菱形，且所以为等边三角形且点为的中点.则，又侧面底面.面底面.所以平面.又是等边三角形，且点为的中点.则.所以.以分别为 轴建立空间直角坐标系,所以 设面
15、的一个法向量为. 则 ，即取设面的一个法向量为. 则 ，即取所以.所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查利用线面平行的性质证明线线平行和利用向量法求二面角，属于中档题.20.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹（1）求轨迹的方程；（2）若直线与曲线交于两点，为曲线上一动点，求面积的最大值【答案】（1）；（2）面积最大为【解析】【分析】（1）设出点的坐标，由为线段的中点得到的坐标，把的坐标代入圆整理得线段的中点的轨迹方程；（2）联立直线和椭圆，求出的长；设过且与直线平行的直线为，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，求出，和两平行直线间的距离，再由面积公
16、式，即可得到最大值【详解】设，由题意，为线段的中点，即又在圆上，即，所以轨迹为椭圆，且方程为.联立直线和椭圆，得到，即即有设过且与直线平行的直线为，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，将代入椭圆方程得：由相切的条件得解得，则所求直线为或，故与直线的距离为，则的面积的最大值为.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系，注意等价的条件，同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题21.已知函数，其中.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在内只有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入，求出函数解析式，可得的值，利用导数求出的值，可
17、得在点处的切线方程；（2）求出函数的导函数，结合a的讨论，分别判断函数零点的个数，综合讨论结果，可得答案.【详解】解：（1）,，则，故所求切线方程为；（2），当时，对恒成立 ，则在上单调递增，从而，则，当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ，当时， 对恒成立，则在上单调递减，在（1，2）内没有零点 ，综上，a的取值范围为（0，1）.【点睛】本题主要考查了函数的零点，导函数的综合运用及分段函数的运用，难度中等.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲
18、线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点、轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，求的值.【答案】（1）曲线的极坐标方程为.，曲线的直角坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）由曲线的参数方程能求出曲线的直角坐标系方程，从而根据能求出曲线的极坐标方程；由得到代入圆：，化简可得曲线的直角坐标方程（2）将代入，得，根据极坐标的几何意义，. 分别表示点，的极径，因此求得，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再设两点对应的参数为，根据韦达定理，即可求出结果.【详解】（1）已知曲线的参数方程为（为参数），消去参数得.又
19、，即曲线的极坐标方程为.又由已知得代入得曲线的直角坐标方程为.（2）将代入，得.又直线的参数方程为（为参数），代入，整理得，分别记两点对应的参数为，则，.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化，曲线的伸缩变换，直线的参数方程的应用以及极坐标的几何意义的应用问题，其中解答中熟记曲线的伸缩变换，直线参数方程中参数的几何意义以及极坐标几何意义的运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（）ab+bc+ac；（）.【答案】（）证明见解析；（II）证明见解析.【解析】【详解】（）由，得：，由题设得，即，所以，即.（）因为，所以，即，所以.本题第（）（）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.