1、第七章第七讲A组基础巩固一、选择题1(2016福州质检)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于(D)ABCD解析以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)(1,0,2)，(1,1,1)cos，.2若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为 (B)ABCD解析间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D平面AC
2、D，B1DDC，故B1DC为直角三角形设棱长为1，则有AD，B1D，DC，SB1DC.设A到平面B1DC的距离为h，则有VAB1DCVB1ADC，hSB1DCB1DSADCh，h.设直线AD与平面B1DC所成的角为，则sin.向量法：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系设各棱长为2，则有A(0，1,0)，D(0,0,2)，C(0,1,0)，B1(，0,2)设n(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有n(0,2,1)sin，n.3(2016皖南八校联考)四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面的腰长为3的等腰三角形，则二面角VABC的余弦值的大小为(B)AB
3、CD解析如图所示，取AB中点E，过V作底面的垂线，垂足为O，连接OE，根据题意可知，VEO是二面角VABC的平面角因为OE1，VE2，所以cosVEO，故选B4如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若E，F分别是BC，DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为(D)ABCD二、填空题5直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为 .解析解法一：取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BMQN，则ANQ即为所求，设BCCACC12，则AQ，AN，QN，cosANQ.解法二：以C1为坐标原点，建立如图所示的空间
4、直角坐标系，设BCCACC12，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，(1,0，2)，(1，1，2)，cos，.6.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，则棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为 .解析解法一：以C为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0,2)点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2(，2)所以(2,0,2)，(，2)，设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为，则cos.又0，所以.解法二：取A1B1的中点H，连AH，由题意易知GH平面ABB1A1，GAH即为AG与平面ABB1A1所成
5、的角，在RtGHA中，C1H，GA2，GAH，即AG与侧面ABB1A所成角为.三、解答题7(2015新课标全国)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值答案(1)略(2)解析(1)证明：连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC又AEEC，所以EG，且EGAC在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角
6、梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F(1,0，)，C(0，0)，所以(1，)，(1，)故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.8.(2016浙江)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值解析
7、(1)延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示因为平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此，BFAC又EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK，又ACCKC，所以BF平面ACFD(2)解法一：过点F作FQAK于Q，连接BQ.因为BF平面ACK，所以BFAK，则AK平面BQF，所以BQAK.所以，BQF是二面角BADF的平面角在RtACK中，AC3，CK2，得AK，FQ.在RtBQF中，FQ，BF，得cosBQF.所以，二面角BADF的平面角的余弦值为.解法二：如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，
8、则BCK为等边三角形取BC的中点O，连接KO，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以，KO平面ABC以点O的原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(1,0,0)，C(1,0,0)，K(0,0，)，A(1，3,0)，E(，0，)，F(，0，)因此，(0,3,0)，(1,3，)，(2,3,0)设平面ACK的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n(x2，y2，z2)由得取m(，0，1)；由得取n(3，2，)于是，cosm，n.所以，二面角BADF的平面角的余弦值为.B组能力提升1(2016山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面
9、圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA的余弦值解析(1)设FC的中点为，连接GI，HI，在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF.GI平面O又平面O平面O且CI平面O，GI平面O在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC又HIGII，IH平面O，IH平面O，所以平面GHI平面ABC因为GH平面GHI，所以GH平面ABC(2)解法一：连接OO，则OO平面ABC又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
10、由题意得B(0,2，0)，C(2，0,0)过点F作FM垂直OB于点M，所以FM3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量，由可得可得平面BCF的一个法向量m(1,1，)因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，所以cosm，n.所以二面角FBCA的余弦值为.解法二：连接OO.过点F作FM垂直OB于点M，则有FMOO.又OO平面ABC，所以FM平面ABC可得FM3.过点M作MN垂直BC于点N，连接FN.可得FNBC，从而FNM为二面角FBCA的平面角又ABBC，AC是圆O的直径所以MNBMsin45，从而FN，可得cosFNM.所以二面角FBCA的余
11、弦值为.2(2017四川省成都市石室中学高三上学期期中数学试题)如图，四边形ABCD是矩形，AB1，AD，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF平面ABCD(1)求证：AF面BEG；(2)若AFFG，求二面角EAGB所成角的余弦值解析(1)推导出AEFCBF，从而ACBE，再求出ACGF，由此能证明AF平面BEG.(2)以点F为原点，FA，FE，FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EAGB所成角的余弦值证明：(1)四边形ABCD为矩形，AEFCBF，.又矩形ABCD中，AB1，AD，AE，AC在RtBEA中，BE，AFAC，BFBE，在ABF
12、中，AF2BF2()2()21AB2AFB90，即ACBEGF平面ABCD，AC平面ABCD，ACGF又BEGFF，BE，GF平面BCE，AF平面BEG解：(2)由(1)得AD，BE，FG两两垂直，以点F为原点，FA，FE，FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0,0)，B(0，0)，G(0,0，)，E(0，0)，(，0)，(，0，)，(0，)，(，0)设n(x，y，z)是平面ABG的法向量，则即，即x，得n(，1，)设m(x，y，z)是平面AEG的法向量，则即，取x1，得m(1，1)，设平面AEG与平面ABG所成角的大小为，则|cos|.平面AEG与平面AB
13、G成钝二面角二面角EAGB所成角的余弦值为.3(2016天津)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面ADF：(2)求二面角OEFC的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值解析依题意，OF平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，C(1，1,0)，D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(0,0,2)，G(1,0,0)(1)依题意，(2,0,0)，(1，1,2)设n1(x，y，z)为平面ADF的法向量，则即不妨设z1，可得n1(0,2,1)，又(0,1，2)，可得n10，又直线EG平面ADF，所以EG平面ADF.(2)易证，(1,1,0)为平面OEF的一个法向量依题意，(1,1,0)，(1,1,2)设n2(x，y，z)为平面CEF的法向量，则即，不妨设x1，可得n2(1，1,1)因此有cos，n2，于是sin，n2.所以，二面角OEFC的正弦值为.(3)由AHHF，得AHAF.因为(1，1,2)，所以(，)，进而有H(，)，从而(，)，因此cos，n2.所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.
