1、考点测试52椭圆高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1. 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2了解椭圆的简单应用3理解数形结合的思想一、基础小题1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B1C.1 Dy21答案C解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c1，ea2，b2a2c23，因此其方程是1，故选C.2到点A(4,0)与点B(4,0)的距离之和为10的点的轨迹方程为()A.1 B1C.1 D1答案C解析由椭圆的定义可知该点的轨迹为焦点在
2、x轴上的椭圆，而c4，a5，故b2a2c29.故选C.3已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6 C4 D12答案C解析依题意，记椭圆的另一个焦点为F，则ABC的周长等于|AB|AC|BC|AB|AC|BF|CF|(|AB|BF|)(|AC|CF|)4，故选C.4椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于()A B2 C4 D答案D解析由x21及题意知，2221，m，故选D.5已知动点M(x，y)满足 4，则动点M的轨迹是()A椭圆 B直线 C圆 D线段答案D解析设点F1(2,0)，F2(2
3、,0)，由题意知动点M满足|MF1|MF2|4|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2.故选D.6设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A B C D答案B解析由题意知a3，b.由椭圆定义知|PF1|PF2|6.在PF1F2中，因为PF1的中点在y轴上，O为F1F2的中点，由三角形中位线的性质可推得PF2x轴，所以由xc时可得|PF2|，所以|PF1|6|PF2|，所以，故选B.7已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线答案B解
4、析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|，又AM是圆的半径，所以|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|，由椭圆定义知，动点P的轨迹是椭圆故选B.8若椭圆的方程为1，且此椭圆的焦距为4，则实数a_.答案4或8解析对椭圆的焦点位置进行讨论由椭圆的焦距为4得c2，当2a6时，椭圆的焦点在x轴上，则10a(a2)4，解得a4；当6ab0)由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，点A是椭圆的短轴端点，如图不妨设A(0，b)，由F2(1,0)，2
5、，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.故选B.10(2019北京高考)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2 B3a24b2 Ca2b D3a4b答案B解析因为椭圆的离心率e，所以a24c2.又a2b2c2，所以3a24b2.故选B.11(2018全国卷)已知椭圆C：1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A B C D答案C解析根据题意，可知c2，因为b24，所以a2b2c28，即a2，所以椭圆C的离心率为e.故选C.12(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()
6、A1 B2 C D1答案D解析在F1PF2中，F1PF290，PF2F160，设|PF2|m，则2c|F1F2|2m，|PF1|m，又由椭圆定义可知2a|PF1|PF2|(1)m，则离心率e1.故选D.13(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A B C D答案D解析依题意易知|PF2|F1F2|2c，且P在第一象限内，由F1F2P120可得P点的坐标为(2c，c)又因为kAP，即，所以a4c，e，故选D.14(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶
7、点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A B C D答案A解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e .故选A.15(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_答案(3，)解析设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x4)2y264上因为点M在椭圆1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)16(2019浙江高考)已知椭
8、圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_答案解析如图，左焦点F(2,0)，右焦点F(2,0)线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此|OM|2.在FFP中，OM綊PF，所以|PF|4.根据椭圆的定义，得|PF|PF|6，所以|PF|2.又因为|FF|4，所以在RtMFF中，tanPFF，即直线PF的斜率是.17(2016江苏高考) 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_答案解析由已知条件易得B，C，F(c,0)
9、，所以，由BFC90，可得0，所以20，c2a2b20，即4c23a2(a2c2)0，亦即3c22a2，所以，则e.三、模拟小题18(2019上饶模拟)设椭圆1(ab0)的左焦点为F1，离心率为，F1为圆M：x2y22x150的圆心，则椭圆的方程是()A.1 B1C.1 D1答案A解析圆心为(1,0)，c1，a2，b.故椭圆的方程为1.故选A.19(2020广州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线xy20与椭圆C：1(ab0)相切，且椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：yx的对称点E在椭圆C上，则OEF的面积为()A B C1 D2答案C解析联立方程可得消去x，化简得(a22b2)y28b2
10、yb2(8a2)0，由0得2b2a280.设F为椭圆C的左焦点，连接FE，易知FEl，所以FEEF，又点F到直线l的距离d，所以|EF|，|FE|2a|EF|，在RtFEF中，|FE|2|EF|2|FF|2，化简得2b2a2，代入2b2a280得b22，a2，所以|EF|FE|2，所以SOEFSFEF1.20(2019湖南百校联盟联考)已知椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A，B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M，N两点若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为()A B C D答案A解析圆O与直线BF相切，圆O的半径
11、为，即OC，四边形FAMN是平行四边形，点M的坐标为，代入椭圆方程得1，5e22e30，又0eb0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，得2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM,0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x
12、220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意，得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简，得k2，从而k.所以直线PB的斜率为或.2(2019江苏高考) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x1)2y24a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知|DF1|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(1,0)，F2
13、(1,0)，所以|F1F2|2，c1.又因为|DF1|，AF2x轴，所以|DF2| .因此2a|DF1|DF2|4，从而a2.由b2a2c2，得b23.因此椭圆C的标准方程为1.(2)解法一：由(1)知，椭圆C：1，a2.因为AF2x轴，所以点A的横坐标为1.将x1代入圆F2的方程(x1)2y216，解得y4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)又F1(1,0)，所以直线AF1：y2x2.由得5x26x110，解得x1或x.将x代入y2x2，解得y.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y(x1)由得7x26x130，解得x1或x.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x1.将x1代入y(
14、x1)，得y.因此E.解法二：由(1)知，椭圆C：1.如图，连接EF1.因为|BF2|2a，|EF1|EF2|2a，所以|EF1|EB|，从而BF1EB.因为|F2A|F2B|，所以AB.所以ABF1E，从而EF1F2A.因为AF2x轴，所以EF1x轴因为F1(1,0)，由得y.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y.因此E.3(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FFF0.证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，
15、1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得m0，即0m，故k.(2)由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则由(1)及题设得(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)，x33(x1x2)1，y3(y1y2)2mb0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(kx10，点Q的坐标为(x1，y1)由BPM的面积是BPQ面积的2倍，可得|PM|2|PQ|，从而x2x12x1(x1)，即x25x1.易知直线AB的方程为2x3y6，由方程组消去y，可得x2.由方程组消去y，可得x1 .由x25x1，可得 5(3
16、k2)，两边平方，整理得18k225k80，解得k，或k.当k时，x29b0)，由题意得解得c，所以b2a2c21，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，n)，由题设知m2，且n0.直线AM的斜率kAM，故直线DE的斜率kDE，所以直线DE的方程为y(xm)，直线BN的方程为y(x2)联立解得点E的纵坐标yE.由点M在椭圆C上，得4m24n2，所以yEn.又SBDE|BD|yE|BD|n|，SBDN|BD|n|，所以BDE与BDN的面积之比为45.二、模拟大题6(2019长春四校联考)已知平面上一动点P到定点F(，0)的距离与它到直线x的距离之比为，记动
17、点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设直线l：ykxm与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求MON面积的最大值解(1)设P(x，y)，则，化简，得y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k21)x28kmx4m240，依题意，得(8km)24(4k21)(4m24)0，化简，得m24k21，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOMkON，则，即4y1y25x1x2，4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)4km4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21
18、)0，化简，得m2k2，|MN|x1x2| ，原点O到直线l的距离d，SMON|MN|d .设4k21t，由得0m2，k2，t6，0)，点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(a,0)，(0,1)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点T(0，t)(t1)，问是否存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值；若不存在，说明理由解(1)设点M的坐标为(x0，y0)，x0，y0，又，a2，椭圆E的方程为y21.(2)设直线l的方程为ykxt，代入y21，得(4k21)x28ktx4t240
19、.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.假设存在实数t，使得以CD为直径的圆恒过点B，则.(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)0，即x1x2(kx1t1)(kx2t1)0，得(k21)x1x2k(t1)(x1x2)(t1)20，整理得5t22t30，解得t(t1)，即当t时，符合题意8(2019洛阳统考)已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线yx与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1，且.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l过点(1,0)，且与椭圆C交于P，Q两点，求F2PQ的内切
20、圆面积的最大值解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，点M在直线yx上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c,0)，则点M.c1.又解得椭圆C的方程为1.(2)由(1)知F1(1,0)，过点F1(1,0)的直线与椭圆C交于P，Q两点，则F2PQ的周长为4a8.又SF2PQ4ar(r为三角形内切圆半径)，当F2PQ的面积最大时，其内切圆面积最大设直线l方程为xky1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则消去x得(43k2)y26ky90，SF2PQ|F1F2|y1y2|.令t，则t1，SF2PQ.令f(t)3t，f(t)3，当t1，)时，f(t)0，f(t)3t在1，)上单调递增，SF2PQ3，当t1时取等号，即当k0时，F2PQ的面积最大值为3.结合SF2PQ4ar3，得r的最大值为.内切圆面积的最大值为.
