1、四川省泸县第四中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）ABCD2已知复数，则（ ）AB1CD23已知函数，则（ ）A2BC3D4在等比数列中，已知，则该数列的公比是（ ）A3B3CD95已知函数，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框处应填入的是（ ）ABCD7已知，则（ ）ABCD8已知函数则函数的图象的对称轴方程为（ ）ABCD9的展开式中各项系数的和为2，则该展开
2、式中常数项为A-40B-20C20D4010已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为（ ）ABCD11已知，为圆上的动点，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（ ）ABCD12已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知数列的前项和为，且，则_.14已知实数，满足线性约束条件，则目标函数的最大值是_.15已知函数，则关于的不等式的解集为
3、_16已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）已知是递增的等比数列，且、成等差数列.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.18（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:试销价格(元)产品销量 (件
4、)已知变量且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲； 乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（）试判断谁的计算结果正确？（）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取个，求“理想数据”的个数的分布列和数学期望.19（12分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（）求证：平面；（）若，求二面角的余弦值.20已知函数，其中.（）当时，设.求函数的单调区间；（）当，时，证明：.21（12分）已知点是抛物线：上的一点，其焦点为点，且抛物线在点处的切线交圆：于不同的两点，.（）若点，求的值；（）设点为
5、弦的中点，焦点关于圆心的对称点为，求的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线相交于两点，的顶点也在曲线上运动，求面积的最大值.23选修45：不等式选讲（10分）已知，.（）求的最小值；（）若对任意，都有，求实数的取值范围.2020年四川省泸县第四中学高三开学考试理科数学参考答案1B2A3B4B5A6C7B8C9D10D
6、11A12C1381415151617（）设数列的公比为，由题意及，知.、成等差数列成等差数列，即，解得或（舍去），.数列的通项公式为；（），.18（1）已知变量具有线性负相关关系，故甲不正确，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数的取值为:.，于是“理想数据”的个数的分布列19（1）证明：设，连接，如下图所示：侧面为菱形，且为及的中点， 又，则为直角三角形，又，即，而为平面内的两条相交直线，平面.(2)平面，平面，即，从而两两互相垂直.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图的空间
7、直角坐标系，为等边三角形， ，设平面的法向量为，则，即，可取，设平面的法向量为，则.同理可取，由图示可知二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.20.（）当时，则.在上单调递增，且，当时，；当时，.的单调递减区间为，单调递增区间为.（）设，则.令，解得.当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增.在上恒成立.现要证，只需证.可证，即.设，则令，解得.当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增.在上恒成立.综上，可知，当时等号成立；，当时等号成立.当，时，.21设点，其中.因为，所以切线的斜率为，于是切线：.（1）因为，于是切线：.故圆心到切线的距离为.于是.（2）联立得.设，.则，.解得又，于是.于是，.又的焦点，于是.故.令，则.于是.因为在单调递减，在单调递增.又当时，；当时，；当时，.所以的取值范围为.22（1）由消去参数得直线的普通方程为，由得，曲线的直角坐标方程为；（2）曲线即，圆心到直线的距离，所以，又 点到直线的距离的最大值为，所以面积的最大值为.23（1），.当且仅当且即时，.（2）由（1）知，对任意，都有，即.当时，有，解得；当，时，有，解得；当时，有，解得；综上，实数的取值范围是.