1、第2课时正弦定理学 习 目 标核 心 素 养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点)2能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养2借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养.古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，BAC，ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD问题：你知道古埃及人是如何利用这些数据
2、计算的吗？正弦定理条件在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等思考：如图，在RtABC中，各自等于什么？提示c.拓展正弦定理的变形若R为ABC外接圆的半径，则(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)sin Asin Bsin Cabc；(4)2R.1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)正弦定理不适用直角三角形()(2)在ABC中，bsin Aasin B总成立()(3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值()答案(1)(2)(3)2在ABC
3、中，下列式子与的值相等的是()ABCDC由正弦定理得，所以.3在ABC中，已知A30，B60，a10，则b等于()A5B10 CD5B由正弦定理得，b10.4在ABC中，若a3，b，A，则C_.由正弦定理得：，所以sin B.又ab，所以AB，所以B，所以C.定理证明【例1】在钝角ABC中，证明正弦定理证明如图，过C作CDAB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：sinCADsin(180A)sin A，sin BCDbsin Aasin B.同理，.故.1本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固2要证，只需证asin Bbsin
4、A，而asin B，bsin A都对应CD初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力1如图，锐角ABC的外接圆O半径为R，证明2R. 证明连接BO并延长，交外接圆于点A，连接AC，则圆周角AAAB为直径，长度为2R，ACB90，sin A，sin A，即2R.用正弦定理解三角形【例2】已知ABC中，a10，A30，C45，求角B，边b，c.思路探究角A，B，C满足什么关系；105可拆分成哪两个特殊角的和；由正弦定理如何求得b，c的值解A30，C45，B180(AC)105，又由正弦定理得：c10.b20sin(6045)5()B105，b5()，c1
5、0.1正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个2适用正弦定理的两种情形：(1)已知三角形的任意两角与一边(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角2已知B30，b，c2，求A，C，a.解由正弦定理得：sin C，cb,0C180，C45或135.当C45时，A105，a1，当C135时，A15，a1.三角形形状的判断探究问题由2R，2R，2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？提示由2R，2R，2R可以得到的变形：sin A，a2Rsin A；sin B，b2Rsin B；sin C，c2Rsin C由这些变形形式，我们可以实现三角形中
6、边、角关系的转化【例3】在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状. 解法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos
7、C，sin(BC)0.又90BCsin B，则有()AabDa，b的大小无法判定C因为，所以.因为在ABC中，sin Asin B0，所以1，所以ab.2在ABC中，若c2acos B，则ABC的形状为()A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D不等边三角形B由正弦定理知c2Rsin C，a2Rsin A，故sin C2sin Acos Bsin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，所以AB故ABC为等腰三角形3在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，B60，那么A等于()A135B90C45D30C由得sin A，A45或135.又ab，Ab，AB45.A60或120.