1、专题强化训练(三)立体几何初步(建议用时：40分钟)一、选择题1下列说法中正确的是()A棱柱的侧面可以是三角形B正方体和长方体都是特殊的四棱柱C所有的几何体的表面都能展成平面图形D棱柱的各条棱都相等BA不正确，棱柱的侧面都是四边形；C不正确，如球的表面就不能展成平面图形；D不正确，棱柱的各条侧棱都相等，但侧棱与底面的棱不一定相等；B正确2(多选题)在下列命题中，是基本事实的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的
2、公共直线答案BCD3(多选题)设l，m，n表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的是()A若ml，且m，则lB若ml，且m，则lC若l，m，n，则lmnD若m，l，n，且n，则lmAD易知A正确；B错误，l与的具体关系不能确定；C错误，以墙角为例即可说明；D正确，可以以三棱柱为例说明故选AD4已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行C若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据基本事实4，则ab，与a，b异面矛盾5已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面与直线m
3、垂直，则直线n与平面的关系是()AnBn或nCn或n与不平行DnAl，且l与n异面，n，又m，nm，n.二、填空题6圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_ cm.4设球的半径为r cm，则r28r33r26r.解得r4.7在棱长为1的正方体上，分别用过公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是_每一个小三棱锥的体积为.因此，所求的体积为18.8在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为_如图，过E作
4、EFBC，垂足为F，连接DF.易知平面BCC1B1平面ABCD，交线为BC，所以EF平面ABCD EDF即为直线DE与平面ABCD所成的角. 由题意，得EFCC11，CFCB1，所以DF.在RtEFD中，tanEDF. 所以直线DE与平面ABCD所成角的正切值为.三、解答题9如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC证明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC(2)因为平面ABD平面BCD，平面
5、ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD因为AD平面ABD，所以BCAD又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC又因为AC平面ABC，所以ADAC10如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为正方形，AE平面CDE, 已知AE3, DE4.(1)求证：平面ADE平面ABCD；(2)求直线BE与平面ABCD所成的角的正弦值解(1)因为AE平面CDE，CD平面CDE，所以AECD因为CDAD，AEADA，AD，AE平面ADE，所以CD平面ADE.又CD平面ABCD，所以平面ADE平面ABCD(2)过点E作EHAD于H，连接BH(图略)由(
6、1)，知平面ADE平面ABCD，又平面ADE平面ABCDAD，所以EH平面ABCD，所以BH为BE在平面ABCD内的射影，所以EBH为BE与平面ABCD所成的角又CDAB，所以AB平面ADE，所以ABAE，所以ABE为直角三角形又AE3，DE4，所以AD5，所以AB5，所以BE，且HE，所以sinEBH，即直线BE与平面ABCD所成的角的正弦值为.11如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A 直线AB上 B 直线BC上C 直线AC上 D ABC内部A连接AC1(图略)，因为ACAB，ACBC1，ABBC1B，所以AC平面ABC1,
7、 又因为AC平面ABC, 所以平面ABC1平面ABC, 所以C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上12(多选题)如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是AC和AE的中点，那么下列结论正确的是()AADMN BMN平面CDECMNCE DMN，CE异面ABC因为两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，M，N分别是AC和AE的中点，取AD的中点G，连接MG，NG，易得AD平面MNG，进而得到ADMN，故A正确；连接MD，根据三角形中位线定理，可得MNCE，由线面平行的判定定理，可得MN平面CDE及MNCE，故B、C正确；D中MN，CE异面
8、错误13圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为_ cm.如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A到C的线段的长ABBC5，AB2.AC5(cm)14如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小解(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP，又BP平面ABP，所以BEBP，又EBC120，所以CBP30.(2)如图，取的中点H，连接EH，
9、GH，CH.因为EBC120，所以四边形BEHC为菱形，所以AEGEACGC.取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EMAG，CMAG，所以EMC为所求二面角的平面角又AM1，所以EMCM2.在BEC中，由于EBC120，由余弦定理得EC22222222cos 12012，所以EC2，因此EMC为等边三角形，所以EMC60.故二面角EAGC的大小为60.15如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解(1)在题图中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC，即在题图中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC，又易得CDBE，所以CD平面A1OC(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高由题图知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积Sa2.从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3，由a336，得a6.