1、第十三章 推理与证明第一节 合情推理与演绎推理题型143 归纳推理2013年1. (2013陕西文13） 观察下列等式：照此规律，第个等式可为 . 2014年1.（2014陕西文14）已知， ， 则的表达式为_.2. （2014安徽文12）如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；，以此类推，设，则 .2015年1.（2015陕西文16）观察下列等式：据此规律，第个等式可为_.1.解析 观察等式知，第个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为，分母是到的连续正整数，等式的右边是.故答案为.2.（2015江苏23）已知集
2、合，设整除或整除，令表示集合所含元素的个数（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明2. 分析 其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质带标记的表示为的倍数或约数（其实是奇葩，其余的都是的倍数），带标记的表示为的倍数或约数，而则表示既是的倍数或约数又是的倍数或约数（即为的倍数或约数，此题不作研究）这样研究时，可直接得:，当时，可直接得：这就是本题的本质，以为周期进行分类整合并进行数学归纳研究解析 （1）当时，可取，共个，故（2）当时，证明：当时，枚举可得，符合通式；假设时，成立，即成立，则当时，此时，此时比多出有序数对个，即多出，从而，符合通
3、式；另外，当，同理可证，综上，即，即当时也成立例如时，则，综上所述：2016年1.（2016山东文12）观察下列等式：；照此规律，_.1. 解析 通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是，接下来是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是，所以第个等式右边是.题型144 类比推理暂无题型145 演绎推理隐含在好多题目的证明过程中补充题型 逻辑推理2014年1.（2014新课标文14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市； 乙说：我没去过城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 .2017年1.（2017全国2卷文
4、9）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”根据以上信息，则（ ）.A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩1.解析 由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果.故选D.第二节 证明题型146 综合法与分析法证明2015年1.（2015全国II文24）选修4-5：不等式选讲设，均为正数，且.证明：(1)
5、若，则；(2)是的充要条件.1. 分析（1）由，及 ，可证明 ，两边开方即得；（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充分性和必要性.解析 （1）因为，由题设，得，因此.（2）(i)若，则，即.因为，所以，由（1）得.(ii)若，则，即.因为，所以，于是，因此.综上，是的充要条件.命题意图 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.2016年1.（2016四川文18（1）在中，角，所对的边分别是，且证明：.1. 解析 根据正弦定理，可设，则，.代入中，有，可变形得在中，由，有，所以2.（2016浙江
6、文16（1）在中，内角，所对的边分别为，.已知.证明：.2.解析 （1）由正弦定理得，故，于是.又，故，所以或，因此（舍去）或，所以题型147 反证法证明2014年1. （2014山东文4）用反证法证明命题：“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）.A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根2015年1.（2015湖南理16（3）设，且.（1）；（2）与不可能同时成立.1. 解析 证明： 由，得 .（）由基本不等式及，有，即.() 假设与同时成立，则由及得；同理，从而，与相矛盾. 故与不可能同时成立.2016年1.（2016全国甲
7、文16）有三张卡片，分别写有和，和，和. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字是_. 1. 解析 由题意得：丙不拿，若丙，则乙，甲满足；若丙，则乙，甲不满足，故甲.2.（2016上海文22）对于无穷数列与，记，若同时满足条件：，均单调递增；且，则称与是无穷互补数列.（1）若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若=且与是无穷互补数列，求数列的前项的和；（3）若与是无穷互补数列，为等差数列且，求与的通项公式.2. 解析 （1）易知，而，所以，从而与不是无穷互补数列.（2）由题意，因为，所以.数列的前项的和为.（3）设的公差为，则.由，得或.若，则，与“与是无穷互补数列”矛盾，因为此时不是无穷数列；若，则，.综上所述，.