1、第七章不等式第三节基本不等式A级基础过关|固根基|1.(2019届长沙市统考)若a0,b0,abab,则ab的最小值为()A2B4C6D8解析:选B解法一:由于abab,因此ab4或ab0(舍去),当且仅当ab2时取等号,故选B解法二:由题意,得1,所以ab(ab)2224,当且仅当ab2时取等号,故选B2(2019届郑州质检)已知a,b(0,),且ab5,则ab的取值范围是()A1,4B2,)C(2,4)D(4,)解析:选A因为ab(ab)5,又a,b(0,),所以ab,当且仅当ab时,等号成立,即(ab)25(ab)40,解得1ab4.3已知x0,y0且4xyx2y4,则xy的最小值为()
2、AB2CD2解析:选Dx0,y0,x2y2,4xy(x2y)4xy2,44xy2,则(2)(1)0,2,xy2,即xy的最小值为2.4若正实数x,y满足xy2,且M恒成立,则M的最大值为()A1B2C3D4解析:选A因为正实数x,y满足xy2,所以xy1,所以1.又M恒成立,所以M1,即M的最大值为1.5一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,则菜园的最大面积为()ABCDL2解析:选A设菜园的长为x,宽为y,则x2yL,面积Sxy,因为x2y2,所以xy.当且仅当x2y,即x,y时取等号,所以Smax,故选A6(2019届湖北武汉模拟)若正数a,b满足1,则的最小值为()A16B25C3
3、6D49解析:选A因为1,则abab,即b1,由a,b是正数可得a10.于是,4b16a20416a2016(a1)216,当且仅当16(a1),即a时等号成立,所以的最小值为16.故为A7(2019届福建龙岩一模)已知x0,y0,且,则xy的最小值为()A3B5C7D9解析:选Cx0,y0,且,(x1)y2(x1)y228,当且仅当,即x3,y4时取等号,xy7,故xy的最小值为7,故选C8正数a,b满足abab3,则ab的取值范围是_解析:a,b是正数,abab323,解得3(舍负),即ab9.答案:9,)9正数a,b满足1,若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围
4、是_解析:因为a0,b0,1,所以ab(ab)1010216,当且仅当,即a4,b12时等号成立由题意,得16x24x18m,即x24x2m对任意实数x恒成立,又x24x2(x2)26的最小值为6,所以6m,即m6.答案:6,)10某厂家拟定在2019年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3(k为常数)如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件已知2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2
5、019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?解:(1)由题意知,当m0时,x1(万件),所以13k,解得k2,所以x3,每件产品的销售价格为1.5(元),所以2019年的利润y1.5x816xm29(m0)(2)因为m0时,(m1)28,所以y82921,当且仅当m1,即m3时,等号成立所以ymax21(万元). 故该厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元.B级素养提升|练能力|11.(2019届山西八校第一次联考)已知f(x)x3ax2(b4)x(a0,b0)在x1处取得极值,则的最小值为()A
6、B32C3D2解析:选C由f(x)x3ax2(b4)x,得f(x)x22axb4.由题意得f(1)122ab40,则2ab3,又a0,b0,所以(2ab)3,当且仅当,即ab1时,等号成立故的最小值为3.故选C12(2019届河南信阳模拟)已知角,的顶点都为坐标原点,始边都与x轴的非负半轴重合,且都为第一象限的角,的终边上分别有点A(1,a),B(2,b),且2,则b的最小值为()A1BCD2解析:选C由已知可得tan a,tan ,2,tan tan 2,a,即a.由a0,b0得0,则0b0,则不等式sin3ln sin cos3ln cos 等价于f(sin )f(cos )恒成立f(x)3x2,当x0时,f(x)0恒成立,故f(x)在定义域上为增函数,则f(sin )f(cos )等价于sin cos 恒成立,1,即tan 1,即的取值范围是,故选A15已知在首项与公比相等的等比数列an中,若m,nN*,满足amaa,则的最小值为()A1BC2D解析:选A根据题意,设an的公比为q,则amqm,anqn,a4q4.由amaa得qm2nq8,m2n8,1.又m,nN*,21,当且仅当,即m2n4时取“”,的最小值为1.