1、模块综合测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020 江西景德镇期末)直线 kx-y-1=0 与直线 x+2y-2=0 的交点在第四象限,则实数 k 的取值范围为()A.-B.-,0C.,+D.-,-答案 A解析由题意可得 -解得 x=,y=-,0 且 -0,-k 2.(2020 浙江湖州期末)在空间直角坐标系中,若直线 l 的方向向量为 a=(1,-2,1),平面 的法向量为n=(2,3,4),则()A.lB.lC.l 或 lD.l 与 相交但不垂直答案 C解析由 a
2、n=21+(-2)3+14=0,可知 an.l 或 l.3.已知圆 C1:x2+(y+m)2=2 与圆 C2:(x-m)2+y2=8 恰有两条公切线,则实数 m 的取值范围是()A.(1,3)B.(-1,1)C.(3,+)D.(-3,-1)(1,3)答案 D解析圆 C1:x2+(y+m)2=2 与圆 C2:(x-m)2+y2=8 恰有两条公切线,两圆相交.由圆心 C1(0,-m),半径 R=,圆心 C2(m,0),半径 r=2,则|C1C2|=|m|,若两圆相交,则满足 r-R|C1C2|R+r,即|m|3,所以 1|m|3,解得-3m-1 或 1m0)的焦点为 F1,F2,上顶点为 A,若F
3、1AF2=,则 m=()A.1B C D.2答案 C解析设原点为 O,由题意可得 c=-=1,b=m,又因为F1AF2=,可得F1AO=,可得 tanF1AO=,解得 m=6.过双曲线 C:=1 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A,若以双曲线 C 的右焦点F 为圆心、半径为 2 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的离心率为()A B.2C D.3答案 B解析因为双曲线的渐近线方程 y=x,所以 A(a,b)或 A(a,-b),因此|AF|=c=2,即 -=2,整理可得 a2+b2-4a=0,因为 a2+b2=c2=4,解得 a=1,所以双曲线的离心率为
4、 e=2.7.(2020 江苏如皋期末)埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜,它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857,因为1428572=285714,1428573=428571,1428574=571428,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现:142+857=999,428+571=999,285+714=999,从这组神秘数字中任选 3 个数字构成一个三位数 x,剩下的三个数字构成另一个三位数 y,若 x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为()A.48B.60C.96D.120答案 A解析根据题意,数字 142857 中,
5、两个数字之和为 9 的组合有 1+8=9,2+7=9,4+5=9,共 3 组,若 x+y=999,对于 x,其百位数字可以为 6 个数字中任意 1 个,假设为 1,则 y 的百位数字必须为 8,则 x,y 的百位数字有 种选法,x 的十位数字可以为剩下 4 个数字中任意 1 个,假设为 2,则 y 的十位数字必须为 7,则 x,y的十位数字有 种选法,x 的个位数字可以为剩下 2 个数字中任意 1 个,y 的个位数字为最后 1 个,则x,y 的个位数字有 种选法,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为 =48(个).8.某市为弘扬我国优秀的传统文化,组织全市 10 万中小学生参加网络古诗词知
6、识答题比赛,总分 100分,经过分析比赛成绩,发现成绩 X 服从正态分布 N(82,16),请估计比赛成绩不小于 90 分的学生人数约为()参考数据:P(-X+)0.682 6,P(-2X+2)0.954 4,P(-3X+3)0.997 4A.2 280B.3 170C.3 415D.460答案 A解析由正态分布 N(82,16),可得=82,=4,则 P(74X90)=P(82-24X0)的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为 1 024,则下列说法正确的是()A.展开式中奇数项的二项式系数和为 256B.展开式中第 6 项的系数最大C.展开式中存在常数项
7、D.展开式中含 x15项的系数为 45答案 BCD解析 ax2+n(a0)的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等,解得 n=10.展开式的各项系数之和为 1 024,(a+1)10=1 024.a0,a=1.原二项式为 x2+10,其展开式的通项公式为 Tr+1=(x2)10-r r=-,展开式中奇数项的二项式系数和为 1 024=512,故 A 错;因为本题中二项式系数和项的系数一样,且展开式有 11 项,故展开式中第 6 项的系数最大,B 对;令 20-r=0r=8,即展开式中存在常数项,C 对;令 20-r=15r=2,=45,D 对.11.在一个袋中装有质地大小一样的 6 个
8、黑球,4 个白球,现从中任取 4 个小球,设取出的 4 个小球中白球的个数为 X,则下列结论正确的是()A.P(X=2)=B.随机变量 X 服从二项分布C.随机变量 X 服从超几何分布D.E(X)=答案 ACD解析由题意知随机变量 X 服从超几何分布,故 B 错误,C 正确;随机变量 X 的所有可能为 0,1,2,3,4,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,故 E(X)=0 +1 +2 +3 +4 ,故 A,D 正确.故选 ACD.12.(2021 江苏海安检测)双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美,同时也具有特殊的有价值的
9、艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的重要几何元素.曲线 C:(x2+y2)2=4(x2-y2)是双纽线,如图,则下列结论正确的是()A.曲线 C 经过 5 个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线 C 上任意一点到坐标原点 O 的距离都不超过 2C.曲线 C 关于直线 y=x 对称的曲线方程为(x2+y2)2=4(y2-x2)D.若直线 y=kx 与曲线 C 只有一个交点,则实数 k 的取值范围为(-,-11,+)答案 BCD解析 y=0 时,x4=4x2,x=0 或 2 或-2,三个整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图象可知,-2x2,令 x=1,
10、得y2=2-31,此时无整点解.曲线 C 经过横、纵坐标均为整数的点,共有 3 个整点,A 错误;x2+y2=-4,曲线 C 上任取一点 P(x,y)到原点的距离 d=2,B 正确;曲线 C 上任取一点 M 关于 y=x 的对称点为 N,设 N(x,y),则 M(y,x),M 在曲线 C 上,(x2+y2)2=4(y2-x2),C 正确.y=kx 与曲线 C 一定有公共点(0,0),y=kx 与曲线 C 只有一个公共点,则 x4(1+k2)2=4x2(1-k2),1-k20,k1 或 k-1,D 正确.三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.某校一次高三数学成绩统计中
11、,经过抽样分析,成绩 X 近似服从正态分布 N(110,2),且P(90X110)=0.3,该校有 1 000 人参加此次统考,估计该校数学成绩不低于 130 分的人数为 .答案 200解析因为 X 近似服从正态分布 N(110,2),且 P(90X110)=0.3,所以 P(90X130)=2P(90X110)=0.6,所以 P(X130)=1-P(90X49,解得 X12.513,预测自上市起经过 13 个月,该款旗舰机型手机市场占有率能超过 49%.21.(12 分)(2020 湖南湘潭月考)某相关部门推出了环境执法力度的评价与环境质量的评价系统,每项评价只有满意和不满意两个选项,市民可
12、以随意进行评价,某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200 位市民的信息,发现对环境质量满意的占 60%,对执法力度满意的占 75%,其中对环境质量与执法力度都满意的有 80 人.(1)是否有 99%的把握判断环境质量与执法力度有关?(2)为了改进工作作风,针对抽取的 200 位市民,对执法力度不满意的人抽取 3 位征求意见,用 表示 3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数,求 的分布列与期望.公式:2=-,其中 n=a+b+c+d.解(1)对环境满意的有 20060%=120(人),对执法力度满意的有 20075%=150(人),对环境质量与执法力度都满意的有 80 人,填写列联表如下:满意
13、度 对执法力度满意 对执法力度不满意 总计 对环境质量满意 80 40 120 对环境质量不满意 70 10 80 总计 150 50 200 计算 2=-6.635,所以有 99%的把握判断环境质量与执法力度有关.(2)由题意知,随机变量 的可能取值为 0,1,2,3;计算 P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=则 的分布列为:0 1 2 3 P 期望为 E=0 +1 +2 +3 22.(12 分)(2020 江苏镇江期末)已知椭圆 C:=1(ab0)经过点 P(2,1),且离心率为 ,直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M.(1)求椭圆 C 的方程;(
14、2)若APB 的角平分线与 x 轴垂直,求 PM 长度的最小值.解(1)因为椭圆经过点 P(2,1),且离心率为 ,所以 其中 a2=b2+c2,解得 所以椭圆的方程为 =1.(2)因为APB 的角平分线与 x 轴垂直,所以 kPA+kPB=0,设直线 PA 的斜率为 k(k0),则直线 PA 的方程为 y=k(x-2)+1,设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 -得(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+16k2-16k-4=0,所以 2x1=-,即 x1=-,y1=k -2+1=-,即 A -,同理可得 B -,则 M 在直线 x+2y=0 上,所以 PM 的最小值为 P 到直线 x+2y=0 的距离,即 d=,此时 M ,-在椭圆内,所以 PM 的最小值为
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