1、时间：90分钟基础组1.抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3C4 D8答案C解析y24x，F(1,0)，l：x1，过焦点F且斜率为的直线l1：y(x1)，与y24x联立，解得A(3，2)，AK4，SAKF424.故选C.2已知双曲线1(a0，b0)上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当ln |k1|ln |k2|最小时，双曲线离心率为()A. B.C.1 D2答案B解析设点A(x1，y1)，C(x2，y2)，由于点A，B为过原点的直线与双
2、曲线的交点，所以根据双曲线的对称性可得A，B关于原点对称，即B(x1，y1)则k1k2，由于点A，C都在双曲线上，故有1，1，两式相减，得0，所以k1k20.则ln |k1|ln |k2|ln (k1k2)，对于函数yln x(x0)利用导数法可以得到当x2时，函数yln x(x0)取得最小值故当ln |k1|ln |k2|取得最小值时，k1k22，所以e ，故选B.3斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A2 B.C. D.答案C解析设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0.(2t)2
3、5(t21)0，即t20，直线与椭圆有两个交点，yx1是“A型直线”把y2代入1，得不成立，直线与椭圆无交点，y2不是“A型直线”把yx3代入1并整理得，7x224x240，(24)247240，y2x3是“A型直线”6已知焦点在y轴上的椭圆C1：1经过点A(1,0)，且离心率为.(1)求椭圆C1的方程；(2)过抛物线C2：yx2h(hR)上点P的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与y轴平行时，求h的最小值解(1)由题意可得解得a2，b1，所以椭圆C1的方程为x21.(2)设P(t，t2h)，由y2x，得抛物线C2在点P处的切线斜率为ky|xt2t，所以M
4、N的方程为y2txt2h，代入椭圆方程得4x2(2txt2h)240，化简得4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.又MN与椭圆C1有两个交点，故160，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点的横坐标为x0，则x0，设线段PA中点的横坐标为x3，由已知得x0x3，即，显然t0，所以h，当t0时，t2，当且仅当t1时取等号，此时h3，不满足式，故舍去；当t0得12k2m2，且x1x2.POQ的重心恰好在圆x2y2上，(x1x2)2(y1y2)24，即(x1x2)224，即(1k2)(x1x2)24km(x1x2)4m24.4m24，化简得m2，代入式得2k20，k0，又m211
5、.k0，m21，m1或mb0)，根据已知得解方程组得椭圆E的方程为1.(2)动点P(m，n)满足|PF1|PF2|10，P(m，n)是椭圆E上的点1.，m2n29.曲线M是圆心为(0,0)，半径r的圆，圆心(0,0)到直线mxny1的距离d0.|AB|y1y2|4(m21)所以4(m21)20，解得m2，所以直线l的方程是x2y1，即x2y10.10已知点A、B的坐标分别是(1,0)、(1,0)直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为2.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程解(1)设M(x，y)因为kAMkBM2，
6、所以2(x1)，化简得2x2y22(x1)，即为动点M的轨迹方程(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)当直线lx轴时，直线l的方程为x，则C，D，此时线段CD的中点不是点N，不合题意故设直线l的方程为y1k.将C(x1，y1)，D(x2，y2)代入2x2y22(x1)，得2xy2，2xy2.整理得k1.所以直线l的方程为y1，即2x2y30.11已知定点G(3,0)，S是圆C：(x3)2y272上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E，设点E的轨迹为M.(1)求M的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l，使得l与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程
7、；若不存在，请说明理由解(1)由题意，知|EG|ES|，|EG|EC|ES|EC|6，又|GC|60，化简得m227，解得3mb0)的离心率为，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M，N两点在椭圆C上，且(0)，定点A(4,0)(1)求证：当1时，；(2)若当1时有，求椭圆C的方程；(3)在(2)的条件下，M，N两点在椭圆C上运动，当tanMAN的值为6时，求出直线MN的方程解(1)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(c,0)，则(cx1，y1)，(x2c，y2)，当1时，y1y2，x1x22c，由M，N两点在椭圆上，xa2，xa2，xx.若x1x2，则x1x202c(舍去)，x1x2，
8、(0,2y2)，(c4,0)，0，.(2)当1时，不妨设M，N，(c4)2，a2c2，b2，c28c16，c2，a26，b22，故椭圆C的方程为1.(3)因为tanMAN2SAMN|AF|yMyN|6，由(2)知点F(2,0)，所以|AF|6，即得|yMyN|.当MNx轴时，|yMyN|MN|，故直线MN的斜率存在，不妨设直线MN的方程为yk(x2)(k0)联立得(13k2)y24ky2k20，yMyN，yMyN，|yMyN|，解得k1.此时，直线MN的方程为xy20或xy20.能力组13.已知F1、F2是双曲线1(a0，b0)的左、右两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于
9、点M，与双曲线交于点N(设点M、N均在第一象限)，当直线MF1与直线ON平行时，双曲线的离心率的取值为e0，则e0所在的区间为()A(1，) B(，)C(，2) D(2,3)答案A解析由可得N，由可得M(a，b)，又F1(c,0)，则kMF1，kON，MF1ON，ab(ac)，又b2c2a2，2a2cc32ac22a3，2e0e2e2，设f(x)x32x22x2，f(x)3x24x2，当x1时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上单调递增，即f(x)在(1，)上至多有1个零点，f(1)12220，1e01，且e2，可得e1，令12e1t，则0t，e1e2.又f(t)t2在上为减函数，则0tf，
10、0t，故e1e2.15如图，F是椭圆的右焦点，以点F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆上的动点，点P到椭圆两焦点的距离之和等于4.(1)求椭圆和圆的标准方程；(2)设直线l的方程为x4，PMl，垂足为M，是否存在点P，使得FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题意，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知可得2a4，a2c，解得a2，c1，b2a2c23.椭圆的标准方程为1，圆的标准方程为(x1)2y21.(2)设P(x，y)，则M(4，y)，F(1,0)，其中2x2，P(x，y)在椭圆上，1，y23x2.|PF|2(x1)2y2(x1)23x2(x
11、4)2，|PM|2|x4|2，|FM|232y212x2.若|PF|FM|，则(x4)212x2，解得x2或x4(舍去)，当x2时，P(2,0)，此时P、F、M三点共线，不符合题意，|PF|FM|；若|PM|PF|，则(x4)2(x4)2，解得x4，不符合题意；若|PM|FM|，则(x4)212x2，解得x4(舍去)或x，当x时，y，P，满足题意综上可得，存在点P或，使得FPM为等腰三角形16如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1
12、作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程解(1)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为F2(c,0)因为AB1B2是直角三角形，又|AB1|AB2|，所以B1AB2为直角，因此|OA|OB2|，则b，又c2a2b2，所以4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24得b24，从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2.又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.