1、7.4数学建模活动：周期现象的描述学 习 目 标核 心 素 养1.会用三角函数解决简单的实际问题(重点)2体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型(难点)通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养.江心屿温州市区著名景点江心屿，江心屿上面有座寺庙江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联上联是：云朝朝朝朝朝朝朝朝散；下联是：潮长长长长长长长长消该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江湖水涨落的壮阔画面下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：时间0136891215182124水深66.257.552.842.557.552.55问题(1)仔
2、细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？(2)以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？提示(1)水深随时间的变化呈周期变化(2)若用平滑的曲线连接各点，则大致呈正弦曲线四类周期现象模型(1)潮汐现象模型潮汐现象可以用函数yAsin (x)(x0，)，A0，0)来表示(2)单摆弹簧等简谐振动模型单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为yAsin (x)，其中x表示时间，y表示位移， A表示振幅，表示频率，表示初相位(3)音叉发出的纯音振动模型音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为yAsin x，其中x表示时间，y表示纯音振
3、动时音叉的位移，表示纯音振动的频率(对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强)(4)交变电流模型交变电流可以用三角函数表达为yAsin (x)，其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流，表示频率，表示初相位1思考辨析(对的打“”，错的打“”)(1)数据拟合问题实际是根据提供的数据画出简图，求出相关的函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制()(2)某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)102sin，t0,24)，则实验室这一天的最大温差为4 . ()答案(1)(2)2电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系是I3sin 100t，t0，
4、)，则电流I变化的周期是()AB50CD100AT.3电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I5sin，则当t s时，电流I为_A2.5I5sin5cos 2.5(A)4振动量ysin (x)(0)的初相和频率分别为和，则它的相位是_3x因为T，所以3，初相为，所以相位为3x.由模型图像解决问题【例1】已知电流I与时间t的关系为IAsin (t)(1)如图所示的是IAsin (t)在一个周期内的图像，根据图中数据求IAsin (t)的解析式；(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流IAsin (t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解(1)由题图知A300，设t1，t2，则周期
5、T2(t2t1)2.所以150.又当t时，I0，即sin0，而|，所以.故所求的解析式为I300sin.(2)依题意，周期T，即(0)，所以300942，又N*，故所求最小正整数943.已知三角函数图像解决应用问题，首先由图像确定三角函数的解析式，其关键是确定参数，同时在解题中注意各个参数的取值范围1弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移解(1)设振幅为A，则2A20 cm，所以A10 cm.设周期为T，则0.5 s，所以T1 s，所以f
6、1 Hz.(2)振子在1 s内通过的路程为4A，故在5 s内通过的路程s54A20A2010200(cm)5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.由模型解析式解决问题【例2】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin，t0，)用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题(1)小球在开始振动(t0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？思路探究确定函数yAsin (x)中的参数A，的物理意义是解题关键解列表如下：t2t02sin01010s04040描点、连
7、线，图像如图所示(1)将t0代入s4sin，得s4sin 2，所以小球开始振动时的位移是2cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm.(3)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s.在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数yAsin (x)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数.2交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220s
8、in来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解(1)当t0时，E110(V)，即开始时的电压为110V.(2)T(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220V，当100t，即ts时第一次取得最大值.确定模型解决问题【例3】下表是某地某年月平均气温(华氏)：月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴(x月份1)，以平均气温为y轴(1)描点作图，用正弦曲线去拟合这些数据；(2)估计这个正弦曲线的周
9、期T和振幅A；(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？cos ；cos ；cos .解(1)如图(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，故716，所以T12.因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即2A73.021.451.6，所以A25.8.(3)因为x月份1，所以不妨取x211，y26.0.代入得1cos ，故不适合；代入得0cos ，故不适合所以应选.根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题.3一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地
10、描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为_t00.10.20.30.40.50.60.70.8y4.02.80.02.84.02.80.02.84.0y4cos t设yAsin (t)(A0，0)，则从表中数据可以得到A4，又由4sin 4.0，得sin 1，得，则y4sin，即y4cos t.1把握1类策略处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题2掌握1个步骤解三角函数应用问题的基本步骤(1)审清题意读懂题目中的
11、“文字”“图像”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题(2)建立函数模型整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型. (3)解答函数模型利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果(4)得出结论将所得结果翻译成实际问题的答案1如图所示的一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角()与时间t(s)满足函数关系式sin(2t)，则当t0时，角的大小及单摆的频率是()A，B2，C，D2，A当t0时，sin ，由函数解析式易知，单摆的周期为，故单摆的频率为，故选A2已知简谐振动的振幅是，图像上
12、相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是()A，B，C，D，B由题意可知A，3252，则T8，所以ysin.由图像过点得sin ，所以sin ，因为|，所以，因此频率是，初相为，故选B3商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)504sin (t0)，则在下列时间段中人流量增加的是()A0,5B5,10C10,15D15,20C由2k2k，kZ，知函数F(t)的增区间为4k，4k，kZ.当k1时，t3，5，而10,153，5，故选C4已知国际油价在某一段时间内呈现出正弦波动规律：PAsin60(美元)，t为天数，A0，0，现采集到下列信息
13、：最高油价80美元，当t150天时，油价最低，则最小值为_A6080得A20，且1502k，kZ，即k1时，最小值为.5已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y10sin20，x4,16(1)求该地区这一段时间内的最大温差；(2)若有一种细菌在15 到25 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？解(1)因为x4,16，则x.由函数解析式易知，当x，即x14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30，当x，即x6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ，所以最大温差为301020()(2)令10sin2015，可得sin，而x4,16，所以x.令10sin2025，可得sin，而x4,16，所以x.故该细菌在这段时间内能存活(小时)