1、高三数学（理科）试卷（考试时间：120 分钟总分：150 分）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若集合 A = x | -1 2 - x 1, B = 0,1,2,3 ，则 A I B = （）A.0,1B.2,3C.1,2D.1,2,33r rrr rr12. 若平面向量 a, b 满足 a (a + b ) = 3 ，且 a = ( ,) ，22r r r5| b |= 2，则| a + b |= （）2A5B 3C18D25553
2、. 某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面积（单位：cm）是()4.3A.6B.10 + 2C.10 + 2D.16 + 25. 下列说法正确的是（）A. 命题“若cos x = cos y ，则 x = y ”的逆否命题为真命题B. 命题“若 xy = 0 ，则 x = 0 ”的否命题为“若 xy = 0 ，则 x 0 ”C命题“ $x R ，使得2x2 -1 0 ”的否定是“ x R ，都有 2x2 -1 2 ”是“| a | 2 ”的充分不必要条件6. 周髀算经是我国古代的天文学和数学著作。其中一个问题的大意为：一年有二十四个节气（如图），每个节气晷长损益相同（即物体在太
3、阳的照射下影子长度的增加量和减少量相同）若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：丈等于十尺，一尺等于十寸），则立冬节气的晷长为（ ）A.九尺五寸B.一丈五寸C.一丈一尺五寸D.一丈六尺五寸x -1 07. 若 x, y 满足约束条件x - y 0x + y - 4 0y，则的最大值为（）xA -1B1C2D37.已知 a, b R ，且 2a - 3b + 6 = 0 ，则 4a +118b 的最小值为（）1A128B32C16D4A. x1 x3 x2B. x1 x2 x3C. x2 x1 x3D. x3 x1 1 + 1b1b2+L + 1bn恒成立，求实数l的最小值21.(本题满分
4、 12 分)设函数 f (x) = (x2 - 2x)1nx + (a -1)x2 + 2(1- a)x + a .2（）讨论 f (x) 的单调性；（）当 a 0, y 0,4bx + y + a = 0 ，求证： x + y 9xy 高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题号123456789101112答案CACDBDDABCBD二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. e14.215. 48p1016. ,+)1e三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17.(本题满分 12 分)解：（）3a
5、sin C = c cos A + c正弦定理得3 sin Asin C = sin C cos A + sin C2 分) sin C 0 ，所以整理得sin( A - p63 sin A = cos A +1=123 分5 分 A (0,p) ， A = p36 分（）因为四边形 ABCD 的内角 B 与 D 互补 cos B = - cos D .7 分在DACD 中，由余弦定理得 AC 2 = AD2 + CD2 - 2 AD CD cos D = 10 - 6 cos D8 分在DABC 中，由余弦定理得 AC 2 = AB2 + BC 2 - 2 AB BC cos B = 52
6、- 48 cos B9 分由解得cos D = - 7 918. (本题满分 12 分)解：（）依题意得 f (x)12ax3 x12 分2 分 f (1) 12a30，解得 a15 分函数 f (x)的定义域为(0，)，令 f (x) 0，得 x1或 x19 分故函数 f (x)的极小值为 f (1)2，极大值为 12分19.(本题满分 12 分)解：（1）取 AE 的中点 O，BC 的中点 F，连接 PO，OF，PF。 1 分由已知得，四边形 ABCE 是梯形，ABCE，ABBC OFAB， OFBC PB=PC， PFBC又 PF I OF = F ， BC平面 POF3 分BCPO由已
7、知得 PA=PE，POAE又 AE 与 BC 相交 PO平面 ABCE5 分Q PO 平面 PAE， 平面 PAE平面 ABCD6 分（2）建立空间直角坐标系O - xyz ，如图所示。设 AB = 4 ，则20. (本题满分 12 分)解：（1）S = 1 (an4n+ 1)221. (本题满分 12 分)解:(I)f (x) = 2(x -1) (1nx + a)(x 0)1 分当 a = 0 时，f (x) = 2(x -1)1nx ，当0 x 0 ，当 x 1 时，f (x) 0 ，当 x = 1 时，f (x) = 0 . f (x) 在(0, +) 递增2 分当 a 0 时，令 f
8、 (x) = 0 ，得 x = 1, x= e- a ，此时e- a 1.12易知 f (x) 在(0, e- a ) 递增， (e- a ,1) 递减， (1, +) 递增4 分当 a 1.易知 f (x) 在(0,1) 递增， (1, e- a ) 递减， (e- a , +) 递增6 分()当 a 0 ，22将 x = e- a 代入 f (x) ，得f (x) = f (e- a ) = (x2 - 2x)(-a) + (a - 1)x2 +2(1- a) x + a = -21 (x - 2)2 + a + 22Q a -2, f (e- a ) 0 ，8 分下面证明当 x (0,1
9、) 时存在 x0 ，使 f (x0 ) 0 .首先，由不等式1nx x -1 ，1n 1 1 -1 = 1 - x ，-1nx 1- x .xxxxx考虑到 x2 - 2x = x(x - 2) 0 ， f (x) = (x2 - 2x)1nx + (a - 1 )x2 + 2(1- a)x = a 0, f (e- a ) x + 1 ，则e- a + a (-a + 1) + a 0 ，即 f (x ) 0 . 根据零点存在定理及函数单调性知 f (x) 在(e- a , +) 有一个零点.综上可知， f (x) 当 a 0, y 04x y yx x + y = 1 + 1 = ( 1 + 1 )(4x + y) = 4x +1+ 4 + y 2+ 5 = 9xyyxyxyx当且仅当 x = 1 , y = 1 时取“=”9 分63 x + y 9xy10 分