1、2016-2017学年广西南宁市宾阳中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中有且只有一个正确.）1已知全集U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，5，集合B=1，3，4，6，则集合AUB=（）A3B2，5C1，4，6D2，3，52下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）ABy=exCy=x2+1Dy=lg|x|3直线x+ya=0的倾斜角为（）A30B60C120D1504若直线ax+2y+1=0与直线x+y2=0互相垂直，则实数a=（）A1B2CD5已知函数，那么f（ln2）的值是（）A0B1Cln（ln2）D26已
2、知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，给出下列命题：若m，m，则；若m，n，m，n，则；如果m，n，m，n是异面直线，则n与相交；若=m，nm，且n，则n，且n其中正确命题的个数是（）A1B2C3D47已知，c=log32则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCacbDcba8直线x2y=0与直线2x4y+a=0的距离为，则a的值为（）A5B10C10D29某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+C2+2D510函数f（x）=lnx+x39的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）11设点A（2，3），B（3，2），直线l过点P（1，1
3、）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围（）Ak或k4Bk4C4kDk4或k12已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的体积为（）ABC50D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡题中横线上）13过l1：2x3y+2=0与l2：3x4y+2=0的交点且与直线4x+y4=0平行的直线方程为14函数的零点是15偶函数f（x）的定义域为R，且在0，+）上是减函数，则f（）f（a2a+1）（填“”、“”或“”、“”或“=”）16空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EFAB，则直线
4、EF与CD所成的角的度数为三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）根据下列条件，求直线的方程：（1）过两直线3x2y+1=0和x+3y+4=0的交点，且垂直于直线x+3y+4=0（2）当a为何值时，直线l1：y=x+2a与直线l2：y=（a22）x+2平行18（12分）设函数f（x）=ax2+（b8）xaab的两个零点分别是3和2（）求f（x）； （）当函数f（x）的定义域是0，1时，求函数f（x）的值域19（12分）定义在（1，1）上的函数f（x）满足f（x）=f（x），且f（1a）+f（12a）0若f（x）是（1，1）上的减函数，求实数a的
5、取值范围20（12分）如图，在三棱锥VABC中，平面VAV平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别AB，VA的中点（）求证：VB平面 M OC；（）求三棱锥VA BC的体积21（12分）设f（x）=loga（1+x）+loga（3x）（a0，a1）且f（1）=2（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间0，上的最大值和最小22（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是正方形，PD平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点（1）求证：平面PAB平面EFG；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC平面ADQ，并给出证明2016-2
6、017学年广西南宁市宾阳中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中有且只有一个正确.）1已知全集U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，5，集合B=1，3，4，6，则集合AUB=（）A3B2，5C1，4，6D2，3，5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，6，集合B=1，3，4，6，UB=2，5，又集合A=2，3，5，则集合AUB=2，5故选：B【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查2下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上
7、单调递增的是（）ABy=exCy=x2+1Dy=lg|x|【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可【解答】解：y=是偶函数，在（0，+）单调递减，故排除A，y=ex是增函数，但不具备奇偶性，故排除B，y=x2+1是偶函数，但在（0，+）单调递减，故排除C，y=lg|x|是偶函数，且x0时，y=lgx单调递增，故选D【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，熟练掌握常见基本函数的奇偶性、单调性可给解决问题带来很大方便3直线x+ya=0的倾斜角为（）A30B60C120D150【考点】直线的倾斜角【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾
8、斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小【解答】解：直线x+ya=0 即 y=x+a，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于，则 0，且tan=，故 =150，故选：D【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小求出直线的斜率是解题的关键4若直线ax+2y+1=0与直线x+y2=0互相垂直，则实数a=（）A1B2CD【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】由直线的垂直关系可得a1+21=0，解方程可得【解答】解：直线ax+2y+1=0与直线x+y2=0互相垂直，a1+21=0，解得a=2故选：B【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基
9、础题5已知函数，那么f（ln2）的值是（）A0B1Cln（ln2）D2【考点】函数的值【分析】由ln21，由分段函数得f（ln2）=eln21，由此能求出结果【解答】解：函数，f（ln2）=eln21=21=1故选：B【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数定义、对数性质的合理运用6已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，给出下列命题：若m，m，则；若m，n，m，n，则；如果m，n，m，n是异面直线，则n与相交；若=m，nm，且n，则n，且n其中正确命题的个数是（）A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断出；若m，n，m，n，只有
10、当m，n是相交直线时，才能得出；如果m，n，m，n是异面直线，则n与相交或n，即可判断出；根据线面平行的判定与性质定理即可判得出【解答】解：已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面根据面面垂直的判定定理可得：若m，m，则，因此正确；若m，n，m，n，只有当m，n是相交直线时，才能得出，因此不正确；如果m，n，m，n是异面直线，则n与相交或n，因此不正确；根据线面平行的判定与性质定理可得：若=m，nm，且n，则n，且n，或n，因此不正确综上可得：只有正确故选：A【点评】本题综合考查了线面平行于垂直的位置关系，属于基础题7已知，c=log32则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCacbDc
11、ba【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数运算与对数运算的互逆性求出b，再根据对数函数的单调性判断a、b、c的范围，可得答案【解答】解： =5b=log5=log52log55=1且b0；0c=log321；a=log23log22=1，故abc，故选A【点评】本题借助对数值大小的比较，考查了对数的性质及对数函数的单调性，关键是利用对数的单调性求出a、b、c的范围8直线x2y=0与直线2x4y+a=0的距离为，则a的值为（）A5B10C10D2【考点】两条平行直线间的距离【分析】利用两条平行线之间的距离公式即可得出【解答】解：直线x2y=0化为2x4y=0，直线x2y=0与直线2x4y+a=
12、0的距离为，=，化为|a|=10，解得a=10故选：B【点评】本题考查了两条平行线之间的距离公式，属于基础题9某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+C2+2D5【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可判断直观图为：OA面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，可得AEBC，BCOA，运用直线平面的垂直得出：BC面AEO，AC=，OE=SABC=22
13、=2，SOAC=SOAB=1=SBCO=2=故该三棱锥的表面积是2，故选：C【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质10函数f（x）=lnx+x39的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解【分析】根据函数f（x）在（0，+）上是增函数，f（2）0，f（3）0，可得函数f（x）在区间（2，3）上有唯一的零点【解答】解：由于函数f（x）=lnx+x39在（0，+）上是增函数，f（2）=ln210，f（3）=ln3+180，故函数f（x）=lnx+x39在区间（
14、2，3）上有唯一的零点，故选：C【点评】本题主要考查函数的单调性，函数零点的判定定理，属于基础题11设点A（2，3），B（3，2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围（）Ak或k4Bk4C4kDk4或k【考点】直线的斜率【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足 kkPB 或 kkPA，用直线的斜率公式求出kPB 和kPA 的值，求出直线l的斜率k的取值范围【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 kkPB 或 kkPA，即 k=，或 k=4，k，或k4，即直线的斜率的取值范围是k或k4故选A【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的
15、数学思想，解题的关键是利用了数形结合的思想，解题过程较为直观，本题类似的题目比较多可以移动一个点的坐标，变式出其他的题目12已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的体积为（）ABC50D【考点】球的体积和表面积【分析】由题意知球面上的四点P、A、B、C是长方体的一个角，扩展为长方体，长方体的对角线就是外接球的直径，求出直径即求出外接球的体积【解答】解：球面上的四点P、A、B、C，又PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为l=5，外接球的半径为R=
16、；球的体积为：V=故选D【点评】本题考查了四面体的外接球体积的求法问题，解题时把四面体扩展为长方体，长方体的对角线就是球的直径二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡题中横线上）13过l1：2x3y+2=0与l2：3x4y+2=0的交点且与直线4x+y4=0平行的直线方程为4x+y10=0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标【分析】联立方程，解方程组可得直线交点，由平行关系可设直线的方程为4x+y+c=0，代点可得c值，可得直线方程【解答】解：联立，解得，由平行关系可设所求直线的方程为4x+y+c=0，代点（2，2）可得c=10，直线的方程为
17、：4x+y10=0【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题14函数的零点是1【考点】函数零点的判定定理【分析】直接令y=0，解方程，即可得出结论【解答】解： =0，即=1，x=1，故答案为1【点评】本题考查函数的零点，考查学生的计算能力，比较基础15偶函数f（x）的定义域为R，且在0，+）上是减函数，则f（）f（a2a+1）（填“”、“”或“”、“”或“=”）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据题意，分析可得a2a+1=（a）2+，结合函数在0，+）上是减函数，可得f（）f（a2a+1），又由函数为偶函数，则有f（）=f（），综合可得f（）f（a2a+1），即可得答案【解答】解
18、：根据题意，a2a+1=（a）2+，由函数在0，+）上是减函数，则有f（）f（a2a+1）又由f（x）为R上的偶函数，则f（）=f（）则有f（）f（a2a+1）故答案为：【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合运用，涉及代数式的大小比较，关键是比较（a2a+1）的大小16空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EFAB，则直线EF与CD所成的角的度数为30【考点】异面直线及其所成的角【分析】取AD的中点G，连接GE，GF，FEG即为EF与CD所成的角，由此能求出直线EF与CD所成的角的度数【解答】解：设CD=2AB=4，如图所示，取AD的中点G，连接GE，GFE、F
19、分别为AC、BD中点，GECD，且GE=CD=2则FEG即为EF与CD所成的角，GFAB，且GF=AB=1又EFAB，EFGF，FEG=30故答案为：30【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）（2016秋宾阳县校级期末）根据下列条件，求直线的方程：（1）过两直线3x2y+1=0和x+3y+4=0的交点，且垂直于直线x+3y+4=0（2）当a为何值时，直线l1：y=x+2a与直线l2：y=（a22）x+2平行【考点】待定系数法求直线方程【分析】（1）由，解得
20、两直线的交点坐标为（1，1）又所求直线垂直于直线x+3y+4=0，可得所求直线斜率k=3，利用点斜式即可得出（2）利用平行线的充要条件即可得出【解答】解：（1）由，解得，两直线的交点坐标为（1，1）又所求直线垂直于直线x+3y+4=0，所求直线斜率k=3，所求直线方程为：y+1=3（x+1），化为：3xy+2=0（2）直线l1的斜率k1=1，直线l2的斜率k2=a22，因为l1l2，所以a22=1且2a2，解得：a=1所以当a=1时，直线l1：y=x+2a与直线l2：y=（a22）x+2平行 （10分）【点评】本题考查了直线的方程交点、相互平行与垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中
21、档题18（12分）（2016秋宾阳县校级期末）设函数f（x）=ax2+（b8）xaab的两个零点分别是3和2（）求f（x）； （）当函数f（x）的定义域是0，1时，求函数f（x）的值域【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值域【分析】（I）转化为ax2+（b8）xaab=0的两根为3和2，由韦达定理可得a，b的方程组，解之可得；（）配方可得函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=，可得函数在x0，1上单调递减，可得最值【解答】解：（I）由题意可知ax2+（b8）xaab=0的两根为3和2，故可得3+2=，32=，解之可得a=3，b=5故可得f（x）=3x23x+18； （）由（I）可知，f
22、（x）=3x23x+18=3图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=，又x0，1，故函数在x0，1上单调递减，故当x=0时，函数取最大值18，当x=1时，函数取最小值12故所求函数f（x）的值域为12，18【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，涉及二次函数区间的最值得求解，属中档题19（12分）（2016秋宾阳县校级期末）定义在（1，1）上的函数f（x）满足f（x）=f（x），且f（1a）+f（12a）0若f（x）是（1，1）上的减函数，求实数a的取值范围【考点】抽象函数及其应用【分析】根据f（x）的奇偶性得出f（1a）f（12a）=f（2a1），再利用单调性得出12a2a1，结合定义域求出
23、a的范围【解答】解：f（1a）+f（12a）0，f（1a）f（12a）f（x）=f（x），x（1，1），f（12a）=f（2a1），f（1a）f（2a1）又f（x）是（1，1）上的减函数，解得0a实数a的取值范围是（0，）【点评】本题考查了函数奇偶性与单调性的应用，属于中档题20（12分）（2016秋宾阳县校级期末）如图，在三棱锥VABC中，平面VAV平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别AB，VA的中点（）求证：VB平面 M OC；（）求三棱锥VA BC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（）由O，M分别为AB，VA的中点，知OMVB
24、由此能证明VB平面MOC（）推导出OCAB，从而OC平面VAB由三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，能求出三棱锥VABC的体积【解答】证明：（）因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB又因为VB平面MOC，OM平面MOC，所以VB平面MOC解：（）因为AC=BC，O为AB的中点，所以OCAB又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB在等腰直角三角形ACB中，所以AB=2，OC=1所以等边三角形VAB的面积又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为（12分）【点评】本题
25、考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21（12分）（2016秋宾阳县校级期末）设f（x）=loga（1+x）+loga（3x）（a0，a1）且f（1）=2（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间0，上的最大值和最小【考点】对数函数图象与性质的综合应用【分析】（1）由题意知，从而解得定义域，再由f（1）=2求a；（2）由（1）知，f（x）=log2（1+x）（3x），由x0，知（1+x）（3x）3，4，从而求最值【解答】解：（1）由题意知，解得1x3；故f（x）的定义域为（1，3）；再由f（1）=2得，loga（1+1）+
26、loga（31）=2；故a=2；（2）f（x）=log2（1+x）（3x），x0，（1+x）（3x）3，4，故f（x）在区间0，上的最大值为f（1）=2；f（x）在区间0，上的最小值为f（0）=log23【点评】本题考查了对数函数与二次函数的性质应用，属于基础题22（12分）（2016秋宾阳县校级期末）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是正方形，PD平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点（1）求证：平面PAB平面EFG；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC平面ADQ，并给出证明【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）利用三角形中位线定理和
27、正方形的性质证出EFAB，根据线面平行的判定定理证出EF平面PAB，同理证出EG平面PAB，再根据面面平行判定定理，即可证出平面PAB平面EFG；（2）取PB中点Q，连结DE、EQ、AQ由线面垂直的判定与性质，结合已知条件证出AD平面PDC，从而得到ADPC，再由等腰直角PCD中DE是斜边的中线，证出DEPC，利用线面垂直判定定理，可得PC平面ADQ由此得到存在Q为线段PB中点时，PC平面ADQ【解答】解：（1）PCD中，E、F分别是线段PC、PD的中点，EFCD，又四边形ABCD为正方形，得ABCD，EFAB，EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB同理可证：EG平面PAB，EF、EG是平面EFG内的相交直线，平面PAB平面EFG；（2）Q为线段PB中点时，PC平面ADQ证明如下取PB中点Q，连结DE、EQ、AQ，由于EQBCAD，且AD、QE不相等，所以ADEQ为梯形，由PD平面ABCD，AD平面ABCD，得ADPD，ADCD，PDCD=D，AD平面PDC，PC平面PDC，ADPC，PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，DEPC，AD、DE是平面ADQ内的相交直线，PC平面ADQ【点评】本题在特殊的四棱锥中证明线面垂直和面面平行，着重考查了空间平行、垂直的位置关系的判断与证明等知识，属于中档题